高考数学复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理.docx

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高考数学复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理

第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词理

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词和存在量词

量词名词

常见量词

表示符号

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

∀

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

∃

3.全称命题和特称命题

命题名称

命题结构

命题简记

全称命题

对M中任意一个x，有p（x）成立

∀x∈M，p（x）

特称命题

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

∃x0∈M，p（x0）

4.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，綈p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

【知识拓展】

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

（1）p∨q：

p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；

（2）p∧q：

p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；

（3）綈p：

与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（　×　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（3）若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（　√　）

（4）命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．（　×　）

（5）“长方形的对角线相等”是特称命题．（　×　）

（6）命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．（　×　）

1．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称，则下列判断正确的是（　　）

A．p为真B．綈q为假

C．p∧q为假D．p∨q为真

答案　C

解析　函数y＝sin2x的最小正周期为

＝π，故命题p为假命题；x＝

不是y＝cosx的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.

2．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.

3．（教材改编）下列命题中，为真命题的是（　　）

A．∀x∈R，－x2－1<0

B．∃x0∈R，x

＋x0＝－1

C．∀x∈R，x2－x＋

>0

D．∃x0∈R，x

＋2x0＋2<0

答案　A

4．（2017·西安调研）命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是（　　）

A．全等三角形的面积不一定都相等

B．不全等三角形的面积不一定都相等

C．存在两个不全等三角形的面积相等

D．存在两个全等三角形的面积不相等

答案　D

解析　命题是省略量词的全称命题，易知选D.

5．（2015·山东）若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，

∴ymax＝tan

＝1.

依题意，m≥ymax，即m≥1.

∴m的最小值为1.

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1　

（1）已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>0；q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．p∧（綈q）

（2）（2016·聊城模拟）若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则（　　）

A．p真，q真B．p假，q真

C．p真，q假D．p假，q假

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）∵p是真命题，q是假命题，

∴p∧（綈q）是真命题．

（2）∵綈p为真命题，∴p为假命题，

又p∨q为真命题，∴q为真命题．

思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

　已知命题p：

若x>y，则－x<－y；命题q：

若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

答案　C

解析　当x>y时，－x<－y，

故命题p为真命题，从而綈p为假命题．

当x>y时，x2>y2不一定成立，

故命题q为假命题，从而綈q为真命题．

由真值表知：

①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题，

故选C.

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、特称命题的真假

例2　不等式组

的解集记为D，有下面四个命题：

p1：

∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，p2：

∃（x，y）∈D,x＋2y≥2，p3：

∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，p4：

∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是（　　）

A．p2，p3B．p1，p4

C．p1，p2D．p1，p3

答案　C

解析　画出不等式组

的可行域D如图阴影部分所示，两直线交于点A（2，－1），设直线l0的方程为x＋2y＝0.由图象可知，∀（x，y）∈D，x＋2y≥0，故p1为真命题，p2为真命题，p3，p4为假命题．

命题点2　含一个量词的命题的否定

例3　

（1）命题“∃x0∈R，x

－2x0>0”的否定是（　　）

A．∀x∈R，x2－2x<0

B．∃x0∈R，x

－2x0≥0

C．∀x∈R，x2－2x≤0

D．∃x0∈R，x

－2x0<0

（2）（2015·浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n

B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n

C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0

D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定，可知C正确．

（2）由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.

思维升华　

（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．

（2）对全（特）称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．

②对原命题的结论进行否定．

（1）下列命题是假命题的是（　　）

A．∃α，β∈R，使sin（α＋β）＝sinα＋sinβ

B．∀φ∈R，函数f（x）＝sin（2x＋φ）都不是偶函数

C．∃x0∈R，使x

＋ax

＋bx0＋c＝0（a，b，c∈R且为常数）

D．∀a>0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点

（2）（2017·福州质检）已知命题p：

“∃x0∈R，

”，则綈p为（　　）

A．∃x0∈R，

B．∃x0∈R，

C．∀x∈R，ex－x－1>0

D．∀x∈R，ex－x－1≥0

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）取α＝0时，sin（α＋β）＝sinα＋sinβ，A正确；

取φ＝

时，函数f（x）＝sin（2x＋

）＝cos2x是偶函数，B错误；

对于三次函数y＝f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f（x）在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x

＋ax

＋bx0＋c＝0，C正确；

当f（x）＝0时，ln2x＋lnx－a＝0，则有a＝ln2x＋lnx＝（lnx＋

）2－

≥－

，所以∀a>0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点，D正确，综上可知选B.

（2）根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.

题型三　含参数命题中参数的取值范围

例4　

（1）已知命题p：

关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：

关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．

（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝（

）x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（　　）

A．[

，＋∞）B．（－∞，

]

C．[

，＋∞）D．（－∞，－

]

答案　

（1）[－12，－4]∪[4，＋∞）　

（2）A

解析　

（1）若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，

即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，

则－

≤3，即a≥－12.

∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，

∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞）．

（2）当x∈[0,3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1,2]时，

g（x）min＝g

（2）＝

－m，由f（x）min≥g（x）min，

得0≥

－m，所以m≥

，故选A.

引申探究

本例

（2）中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

答案　[

，＋∞）

解析　当x∈[1,2]时，g（x）max＝g

（1）＝

－m，

由f（x）min≥g（x）max，得0≥

－m，

∴m≥

.

思维升华　

（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；

（2）含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决．

（1）已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：

“∃x0∈R，x

＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（4，＋∞）B．[1,4]

C．[e,4]D．（－∞，－1）

（2）已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f（x1）>g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是________________．

答案　

（1）C　

（2）（－∞，0）

解析　

（1）由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.

（2）f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，

当x∈[1,4]时，f（x）min＝f

（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min>g（x）max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是（－∞，0）．

1．常用逻辑用语

考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.

一、命题的真假判断

典例1　

（1）已知命题p：

∃x0∈R，x

＋1<2x0；命题q：

若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

A．綈p是假命题

B．q是真命题

C．p∨q为假命题

D．p∧q为真命题

（2）下列命题中错误的个数为（　　）

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；

②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；

③命题p：

∃x0∈R，x

＋x0－1<0，则綈p：

∀x∈R，x2＋x－1≥0；

④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．

A．1B．2C．3D．4

解析　

（1）由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即x2＋1≥2x，所以p为假命题；

对于命题q，当m＝0时，－1<0恒成立，

所以命题q为假命题．

综上可知，綈p为真命题，

p∧q为假命题，p∨q为假命题，故选C.

（2）对于①，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p∧q不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x2－4x－5>0可得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据特称命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2，故选B.

答案　

（1）C　

（2）B

二、求参数的取值范围

典例2　

（1）已知p：

x≥k，q：

<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．[1，＋∞）D．（－∞，－1]

（2）（2016·郑州一模）已知函数f（x）＝x＋

，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈[

，3]，∃x2∈[2,3]使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1B．a≥1

C．a≤0D．a≥0

解析　

（1）由

<1，得

－1＝

<0，

即（x－2）（x＋1）>0，

解得x<－1或x>2，由p是q的充分不必要条件，知k>2，故选B.

（2）∵x∈[

，3]，∴f（x）≥2

＝4，当且仅当x＝2时，f（x）min＝4，当x∈[2,3]时，g（x）min＝22＋a＝4＋a，依题意f（x）min≥g（x）min，∴a≤0，故选C.

答案　

（1）B　

（2）C

三、利用逻辑推理解决实际问题

典例3　

（1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：

中国非第一名，也非第二名；

乙：

中国非第一名，而是第三名；

丙：

中国非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．

解析　

（1）由题意可推断：

甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.

（2）由题意可知：

甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．

答案　

（1）A　

（2）一

1．命题p：

若sinx>siny，则x>y；命题q：

x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．qD．綈p

答案　B

解析　命题p假，q真，故命题p∧q为假命题．

2．下列命题中，真命题是（　　）

A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈R，－1

C．∃x0∈R,

D．∃x0∈R，tanx0＝2

答案　D

解析　∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；由y＝2x的图象可知∀x∈R,2x>0，故C错，D正确．

3．（2017·西安质检）已知命题p：

∃x0∈R，

则（　　）

A．p是假命题；綈p：

∀x∈R，log2（3x＋1）≤0

B．p是假命题；綈p：

∀x∈R，log2（3x＋1）>0

C．p是真命题；綈p：

∀x∈R，log2（3x＋1）≤0

D．p是真命题；綈p：

∀x∈R，log2（3x＋1）>0

答案　B

解析　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2（3x＋1）>0，∴p是假命题；綈p：

∀x∈R，log2（3x＋1）>0，故选B.

4．（2016·河北邯郸收官考试）已知p：

∀x∈R，x2－x＋1>0，q：

∃x0∈（0，＋∞），sinx0>1，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∨（綈q）B．（綈p）∨q

C．p∧qD．（綈p）∧（綈q）

答案　A

解析　因为x2－x＋1＝（x－

）2＋

>0恒成立，所以命题p是真命题；∀x∈R，sinx≤1，所以命题q是假命题，所以p∨（綈q）是真命题，故选A.

5．下列命题中的假命题是（　　）

A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，（x－1）2>0

C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tan

＝5

答案　B

解析　A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，（x－1）2＝0与（x－1）2>0矛盾；C项，当x0＝

时，lg

＝－1<1；D项，当x∈R时，tanx∈R，∴∃x0∈R，tan

＝5.

6．（2016·开封一模）已知命题p1：

∀x∈（0，＋∞），有3x>2x，p2：

∃θ∈R，sinθ＋cosθ＝

，则在命题q1：

p1∨p2；q2：

p1∧p2；q3：

（綈p1）∨p2和q4：

p1∧（綈p2）中，真命题是（　　）

A．q1，q3B．q2，q3

C．q1，q4D．q2，q4

答案　C

解析　因为y＝（

）x在R上是增函数，即y＝（

）x>1在（0，＋∞）上恒成立，所以p1是真命题；sinθ＋cosθ＝

sin（θ＋

）≤

，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：

p1∨p2，q4：

p1∧（綈p2）是真命题，选C.

7．已知命题“∃x0∈R，使2x

＋（a－1）x0＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,3）

C．（－3，＋∞）D．（－3,1）

答案　B

解析　依题意可知“∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋

>0”为真命题，所以Δ＝（a－1）2－4×2×

<0，即（a＋1）（a－3）<0，解得－1

*8.（2016·湖南师大附中月考）函数f（x）＝lnx－

（a>0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都有f（x1）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2，＋∞）D．（0,1）∪（2，＋∞）

答案　D

解析　由题意可知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝

－

（a>0），

当x∈（0，a）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）单调递减；

故f（x）max＝f（a），∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都有f（x1）f（x1）对∀x1∈[1,2]恒成立，故a∉[1,2]，所以实数a的取值范围是（0,1）∪（2，＋∞），选D.

9．以下四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．4

答案　A

解析　∵x2－3x＋2>0，Δ＝（－3）2－4×2>0，

∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题；

当且仅当x＝±

时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；

4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

10．（2016·成都模拟）已知函数f（x）的定义域为（a，b），若“∃x0∈（a，b），f（x0）＋f（－x0）≠0”是假命题，则f（a＋b）＝________.

答案　0

解析　若“∃x0∈（a，b），f（x0）＋f（－x0）≠0”是假命题，则“∀x∈（a，b），f（x）＋f（－x）＝0”是真命题，即f（－x）＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，则a＋b＝0，即f（a＋b）＝0.

11．下列结论：

①若命题p：

∃x0∈R，tanx0＝1；命题q：

∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧（綈q）”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中正确结论的序号为________．

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧（綈q）为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确，所以正确结论的序号为①③.

12．已知命题p：

x2＋2x－3>0；命题q：

>1，若“（綈q）∧p”为真，则x的取值范围是________________．

答案　（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

解析　因为“（綈q）∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

<0，即20，解得x>1或x<－3，由

得x≥3或1＜x≤2或x<－3，

所以x的取值范围是{x|x≥3或1＜x≤2或x＜－3}．

13．（2017·江西五校联考）已知命题p：

∃x0∈R，（m＋1）·（x

＋1）≤0，命题q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为______________．

答案　（－∞，－2]∪（－1，＋∞）

解析　由命题p：

∃x0∈R，（m＋1）（x

＋1）≤0可得m≤－1，由命题q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.

14．已知命题p：

“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.

答案　（－∞，1]

解析　若綈p是假命题，则p是真命题，

即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，

由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，

∴m≤1.

*15.已知函数f（x）＝

（x≥2），g（x）＝ax（a>1，x≥2）．

（1）若∃x0∈[2，＋∞），使f（x0）＝m成立，则实数m的取值范围为________________；

（2）若∀x1∈[2，＋∞），∃x2∈[2,＋∞）使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为________________．

答案　

（1）[3，＋∞）　

（2）（1，

]

解析　

（1）因为f（x）＝

＝x＋

＝x－1＋

＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若∃x0∈[2，＋∞），使f（x0）＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞）．

（2）因为当x≥2时，f（x）≥3，g（x）≥a2，若∀x1∈[2，＋∞），∃x2∈[2，＋∞）使得f（x1）＝g（x2），则

解得a∈（1，

]．