九年级数学几何专题复习相似三角形性质与判定练习.docx

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九年级数学几何专题复习相似三角形性质与判定练习

九年级数学几何专题复习相似三角形性质与判定练习

1．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．

（1）求证：

△ABD∽△CBA；

（2）作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．

2．如图，△ABC的高AD，BE交于点F．写出图中所有与△AFE相似的三角形，并选择一个进行证明．

3．已知：

如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件　　，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．

4．如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒后，点P、B、Q构成的三角形与△ABC相似？

5．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？

试说明理由．

6．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．

求证：

△ADC∽△DEB．

7．如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2＝90°．

求证：

△ABC∽△CDE．

8．已知：

如图，已知△ABC中AB＝6cm，AC＝4cm，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿A→C、B→A方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s，当点E到达点A时，D、E两点停止运动．设运动时间为t（s），问：

当t为何值时，△ADE与△ABC相似？

9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．

（1）若AB＝10，求FD

的长；

（2）若AC＝BC，求证：

△CDE∽△DFE．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．：

点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

参考答案

1．

（1）证明：

∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，

∴

．

∵∠ABD＝∠CBA，

△ABD∽△CBA，

（2）作DE∥AB交AC于点E，如图所示，△ABD∽△CDE；

，

即

，

解得：

DE＝3．

2．解：

与△AFE相似的三角形有：

△BFD，△ACD，△BCE．

选择求证：

△ACD∽△AFE．

证明：

∵△ABC的高AD，BE交于点F，

∴∠ADC＝∠AEF＝90°．

∵∠CAD＝∠FAE，

∴△ACD∽△AFE．

3．解：

添加条件为：

∠CDE＝∠A，

理由：

∵∠C＝∠C，

∠CDE＝∠A，

∴△CDE∽△CAB．

故答案为：

∠CDE＝∠A．

4．解：

①．设经过ts后，△PBQ∽△ABC

根据已知条件可得：

AP＝t，BQ＝2×t

∵△PBQ∽△ABC

∴

∴

∴t＝2s

②．设经过ts后△PBQ∽△CBA

∵△PBQ∽△CBA

∴

∴

∴t＝0.8s

故经过0.8秒或2秒后，△PBQ与△ABC相似．

5．解：

设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，

则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，

∵AB＝8cm，BC＝16cm，

∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，

∵∠B是公共角，

∵①当

＝

，即

＝

时，△PBQ∽△ABC，

解得：

x＝2；

②当

＝

，即

＝

时，△QBP∽△ABC，

解得：

x＝0.8，

∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．

6．证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，

∵∠ADE＝60°，

∴∠ADB＝∠BDE+60°，

∴∠CAD＝∠BDE，

∴△ADC∽△DEB．

7．证明：

∵AB⊥BC，ED⊥CD，

∴∠B＝∠D＝90°．

∴∠A+∠1＝90°．

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠A＝∠2，

∴△ABC∽△CDE．

8．解：

根据题意得：

BE＝2t，AD＝t，

∴AE＝6﹣2t，

∵∠A＝∠A，

∴分两种情况：

①当

时，

即

，解得：

t＝

；

②当

时，

即

，解得：

t＝

；

综上所述：

当t＝

或

时，△ADE与△ABC相似．

9．解：

（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，

∴DE∥AB，DE＝

AB＝5，

∵DE∥AB，

∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，

∴∠DEC＝∠F，

∴DF＝DE＝5；

（2）∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，

∴∠CDE＝∠B，

∵∠B＝∠F，

∴∠CDE＝∠F，

∵∠CED＝∠DEF，

∴△CDE∽△DFE．

10．解：

①若△POQ∽△AOB时，

＝

，即

＝

，

整理得：

12﹣2t＝t，

解得：

t＝4．

②若△POQ∽△BOA时，

＝

，即

＝

，

整理得：

6﹣t＝2t，

解得：

t＝2．

∵0≤t≤6，

∴t＝4和t＝2均符合题意，

∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．