高考圆锥曲线压轴题型总结.doc

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高考圆锥曲线压轴题型总结

直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。

而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。

使用韦达定理时需注意成立的条件。

题型一：

条件和结论可以直接或经过转化后可用两根之和与两根之积来处理

1.福建直线，为平面上的动点，F（1,0）过作直线

的垂线，垂足为点，且．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；

本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．

P

B

Q

M

F

O

A

x

y

解法一：

（Ⅰ）设点，则，由得：

，化简得．

（Ⅱ）设直线的方程为：

．

设，，又，

联立方程组，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：

（Ⅰ）由得：

，

，，

2．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：

．

（Ⅱ）由已知，，得．

则：

．…………①

过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

则有：

．…………②

由①②得：

，即．

2.（全国卷Ⅰ））已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。

解：

设椭圆方程为

则直线AB的方程为，代入，化简得

.

令A（），B），则

由与共线，得

又，

即，所以，

故离心率

（II）证明：

（1）知，所以椭圆可化为

设，由已知得

在椭圆上，

即①

由

（1）知

又，代入①得

故为定值，定值为1.

3.　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

解法一：

（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，所以,即1＝因此，椭圆方程为

（Ⅱ）设

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：

整理得所以因为恒有，所以AOB恒为钝角.即恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，

即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.

a20,b>0,所以a0,解得a>或a<（舍去），即a>,综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：

（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2（1+yA2）<4yA2,yA2>1，即>1,

解得a>或a<（舍去），即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

设直线AB的方程为y=k（x-1）代入得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,

故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

所以x21+y21+x22+y22<（x2-x1）2+（y2-y1）2,得x1x2+y1y2<0恒成立.

x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2

=（1+k2）.

由题意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<0对kR恒成立.

①当a2-a2b2+b2>0时，不合题意；

②当a2-a2b2+b2=0时，a=;

③当a2-a2b2+b2<0时，a2-a2（a2-1）+（a2-1）<0，a4-3a2+1>0,

解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）

解法1中的转化才是亮点。

4.2010浙江理数）（21）（本题满分15分）已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.

解析：

本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

（Ⅰ）解：

因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。

（Ⅱ）解：

设。

由，消去得

则由，知，

且有。

由于，故为的中点，

由，可知

设是的中点，则，由题意可知

即即

而所以

即又因为且所以。

所以的取值范围是。

原点在以线段为直径的圆内，也可以像第3题一样处理，利用且不反向。

5.（2010浙江文数）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p>0）

的焦点F在直线上。

（I）若m=2，求抛物线C的方程

（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H

求证：

对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。

也可以用第3题的思路

6.（2009全国卷Ⅰ）（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

解：

（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．

（1）

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：

方程

（1）有两个不相等的正根

∴即。

解这个方程组得

.

（II）设四个交点的坐标分别为、、、。

则由（I）根据韦达定理有，

则

令，则下面求的最大值。

方法1：

由三次均值有：

当且仅当，即时取最大值。

经检验此时满足题意。

法2：

设四个交点的坐标分别为、、、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。

设，由及（Ⅰ）得

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则将，代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为

7.（2009湖北卷理）（本小题满分14分）（注意：

在试题卷上作答无效）

过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。

（Ⅰ）当时，求证：

⊥；

（Ⅱ）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。

若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

解：

依题意，可设直线MN的方程为，则有21世纪教育网

由消去x可得

从而有①

于是②

又由，可得③

（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线

此时①可得

证法1：

21世纪教育网

证法2：

（Ⅱ）存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：

证法1：

记直线与x轴的交点为,则。

于是有

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立

证法2：

如图2，连接,则由可得

所以直线经过原点O，

同理可证直线也经过原点O

又设则

8.（2010全国卷1理数）（21）（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.

（Ⅰ）证明：

点F在直线BD上；

（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.

9.（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）

己知斜率为1的直线l与双曲线C：

相交于B、D两点，且BD的中点为．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：

过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.

用焦半径不行吗？

10.（2010山东文数）（22）（本小题满分14分）

如图，已知椭圆过点.

，离心率为，左、右焦点分别为、 .点为直线上且不在轴上的任意 一点，直线和与椭圆的交点分别为、 和、，为坐标原点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设直线、的斜线分别为、.

（i）证明：

；

（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？

若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

题型二：

出现情形，两根的关系不能直接使用使用韦达定理，可将两根的关系带入韦达定理。

联考中叶是经常出现的。

（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分）

设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的焦距；

（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.

解：

（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离

所以椭圆的焦距为4.

（Ⅱ）设直线的方程为

联立

解得

因为

即

得

故椭圆的方程为

题型三;直线与圆锥曲线，已知其中一个交点时，可迅速求出另外一个交点。

O

A

B

E

F

M

1.（05江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.

（1）若M为定点，证明：

直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹解：

（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k（l>0）

则直线MF的斜率为－k，方程为

∴由，消

解得

∴（定值）

所以直线EF的斜率为定值

（2）直线ME的方程为

由得

同理可得

设重心G（x,y），则有

消去参数得

2.09浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：

上一点到其焦点的距离为．

（I）求与的值；

（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：

，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得

抛物线方程为：

，将代入抛物线方程，解得

（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。

则，当则。

联立方程，整理得：

即：

，解得或

，而，直线斜率为21世纪教育网

，联立方程

整理得：

，即：

，解得：

，或

，

而抛物线在点N处切线斜率：

MN是抛物线的切线，，整理得

，解得（舍去），或，

3.05天津卷）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P（x0,y0）（x0≠0）作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1,y1）B（x2,y2）两点（P,A,B三点互不相同），且满足.

（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

解：

（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．

（Ⅱ）证明：

设直线的方程为，直线的方程为．

点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③

又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．

由已知得，，则．　　⑥

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

∴线段的中点在轴上．

（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．

将代入⑥式得，代入得．

因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为

，．

于是，，

．

因为钝角且、、三点互不相同，故必有．

求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即

06湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

点评：

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：

（Ⅰ）依题意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）解法1：

由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.

∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.

又点M异于顶点A、B，∴－2

从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.

∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.

将代入，化简得·＝（2－x0）.

∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：

由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），

则－2

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝（－2）2＋（）2－[（x1－x2）2＋（y1－y2）2]

＝（x1－2）（x2－2）＋y1y1

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y2＝

又点M在椭圆上，则，即

于是将、代入，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。

用了题型3与题型1，对B在圆内处理方法比较好。

（06重庆卷）如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。

（Ⅰ）试证：

；

（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。

试证：

；

证明：

（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为将它与抛物线方程联立得:

由一元二次方程根与系数的关系得．

（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率故在处的切线的方程为：

，……①

类似地，可求得在处的切线的方程为：

，……②

由②－①得：

，……③

将③代入①并注意得交点的坐标为．

由两点间的距离公式得：

　　　．

现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：

（2009江西卷文）（本小题满分14分）如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆,其中为椭圆的左顶点.

（1）求圆的半径;

（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，

G

．

证明：

直线与圆相切．

解:

（1）设，过圆心作于,交长轴于

由得,

即

（1）

而点在椭圆上,

（2）

由

（1）、

（2）式得,解得或（舍去）

（2）设过点与圆相切的直线方程为:

（3）

则,即（4）

解得

将（3）代入得,则异于零的解为

设,，则

则直线的斜率为：

于是直线的方程为:

即

则圆心到直线的距离21世纪教育网

故结论成立.

已知M可以求出e,f分别用两个斜率表示

题型4有关定点，定值问题。

将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。

（山东理）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标．

【标准答案】（I）由题意设椭圆的标准方程为

，

（II）设，由得

，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得

，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

（07湖南理）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．解：

由条件知，，设，．

解法一：

（I）设，则则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

（II）假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

解法二：

（I）同解法一的（I）有

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以．

．

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，

当不与轴垂直时，由（I）有，．

以上同解法一的（II）．

是题型1简单类型，其实重点是一个有关定值问题。

（07湖北）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）

A

B

x

y

N

C

O

19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解法1：

（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，

直线的方程为，与联立得消去得．

N

O

A

C

B

y

x

由韦达定理得，．

于是．

，

当时，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，

的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，

N

O

A

C

B

y

x

l

则，点的坐标为．

，

，

，

．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．

解法2：

（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

，

又由点到直线的距离公式得．

从而，

当时，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．

（2010江苏卷）18、（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。

设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：

直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。

考查运算求解能力和探究问题的能力。

满分16分。

（1）设点P（x，y），则：

F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由，得化简得。

故所求点P的轨迹为直线。

（2）将分别代入椭圆方程，以及得：

M（2，）、N（，）

直线MTA方程为：

，即，

直线NTB方程为：

，即。

联立方程组，解得：

，

所以点T的坐标为。

（3）点T的坐标为

直线MTA方程为：

，即，

直线NTB方程为：

，即。

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：

、。

（方法一）当时，直线MN方程为：

令，解得：

。

此时必过点D（1，0）；

当时，直线MN方程为：

，与x轴交点为D（1，0）。

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

（方法二）若，则由及，得，

此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。

若，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。

因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。

（2009江苏卷）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：

存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。

满分16分。

（1）设直线的方程为：

，即

由垂径定理，得：

圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得：

化简得：

求直线的方程为：

或，即或

（2）设点P坐标为，直线、的方程分别为：

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，即：

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得：

：

圆心到直线与直线的距离相等。

故有：

，

化简得：

关于的方程有无穷多解，有：

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解之得：

点P坐标为或。

题型5：

函数思想，方程思想为主要思路解题。

简单的说就是看题目中未知数个数与条件个数。

此题可作为函数思想的例题，点p含（横坐标已知）未知数一个，角可以表示成未知数的函数，利用函数求最值。

（05浙江）17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线l1：

x＝m（|m|＞1），P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．

O

F2

F1

A2

A1

P

M

解：

（Ｉ）设椭圆方程为（），半焦距为c,则

,

由题意，得,解得

故椭圆方程为

（II）设P（

当时，

当时,

只需求的最大值即可。

直线的斜率，直线的斜率

当且仅当=时