广东省广州六中2011-2012学年高二上学期期末考试数学(文)试卷.doc
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2011学年度第一学期期末四校联考
高二文科数学试卷（共4页）
命题：
广雅中学高二文科数学备课组统审：
钟瑞丽审核：
徐广华
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。
考试用时120分钟。
。
。
。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上，用2B铅笔将自己的考号填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题（共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，那么集合等于（）
A．B．C． D．
结束
输出
否
是
开始
2．若函数是函数的反函数，且，则（）
A．B．C．D．
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）
A．63B．31C．27D．15
4.在中，，则（）
A．B．C．D．
5．到椭圆左焦点的距离与到定直线
距离相等的动点轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）
A．B．C．D．
7．已知等差数列中，若，则数列的前项和等于（）
A．B．C．D．
8.使“”成立的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
9.设且满足，则的最小值等于（）
A．B．C．D．
10．若函数满足且时，，
函数，则函数在区间内的零点的
个数为（）
A． B． C． D．
第二部分非选择题（共100分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11.命题“”的否定是：
________；
12.平面向量、的夹角为，，，则________；
13.已知圆的圆心为，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为_______；
14.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为________.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
16.（本小题满分12分）
某车间将名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件
若干，其中合格零件的个数如下表：
1号
2号
3号
4号
5号
甲组
4
5
7
9
10
乙组
5
6
7
8
9
（Ⅰ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此比较两组技工的技术水平；
（Ⅱ）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
17．（本小题满分14分）
已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且
，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
18.（本小题满分14分）
已知椭圆的方程为：
，其中，直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
19.（本小题满分14分）
已知函数定义域为且同时满足：
①图像向左平移1个单位后所得函数为偶函数；②对于任意大于1的不等实数，总有成立.
（Ⅰ）的图像是否有对称轴？
如果有，写出对称轴方程，并说明在区间上的单调性；
（Ⅱ）设，如果，判断是否有负实根并说明理由；
（Ⅲ）如果且，比较与的大小并说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.
（Ⅰ）分别求数列、的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？
若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
2011学年度第一学期期末四校联考
高二文科数学参考答案及评分标准（共4页）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
D
C
B
D
B
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11．12．13．14．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）
………………………………2分
………………………………4分
故的最小正周期………………………………6分
（Ⅱ）由………………………………8分
解得……………………………10分
故函数的单调递增区间为……………12分
16.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）依题意，
………………………………2分
………3分
……………4分
因为，
所以，两组技工的总体水平相同，甲组技工的技术水平差异比乙组大……………6分
（Ⅱ）记该车间“质量合格”为事件A，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：
（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种…………8分
事件A包含的基本事件为：
（4，9），（5，8），（5，9），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），
（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），
（10，9）共17种………………………………10分
所以………………………………11分
答：
该车间“质量合格”的概率为 ………………………………12分
17．（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）证明：
方法一：
，连结CG，
∵分别为、的中点∴且
………………………………2分
平面，平面
平面………………………………4分
方法二：
∵分别为、的中点
∴且………………………………1分
平面，平面
平面
平面，平面
平面
∴平面平面………………………………3分
∵平面平面………………4分
（Ⅱ）∵
∴∴在中=
∴即………………………6分
又∵
∴平面∴……………………8分
∴平面……………………9分
（Ⅲ）方法一：
∵平面∴
∵∴平面
∴为三棱锥的高……………………11分
面，
………………………12分
………………………14分
方法二：
………………………10分
平面为三棱锥的高…………………11分
面
………………………………12分
…………………………14分
方法三：
………………………10分
面为三棱锥的高……………………11分
平面
…………………………12分
…………………………14分
18.（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）方法一：
设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是，…………………………2分
根据椭圆的定义得：
，
即，即，…………………4分
又，，联立三式解得……………………6分
所以椭圆的方程为：
………………………………7分
方法二：
设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是，………………2分
将点坐标代入椭圆的方程得
化简整理得…………………………4分
解得或
或或（此时，舍去）
…………………………6分
所以椭圆的方程为：
…………………………7分
（Ⅱ）由
（1）可知，直线与椭圆的一个交点为，
则以为直径的圆方程是，圆心为，半径为……9分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是，圆心是，半径是…………11分
两圆心距为，所以两圆内切.……………………………14分
19、（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）由条件①得的图像关于直线对称………………………2分
由条件②得时，恒成立，时，恒成立，
在上单调递增……………………………4分
又的图像关于直线对称，在上单调递减………5分
（Ⅱ）方法一：
若有负根，则，
……………………………6分
，在上单调递减………………8分
，与矛盾故无负实根…………10分
方法二：
若有负根，则
……………………………6分
，在上单调递减
结合图像如右图所示
…………………………8分
知与的图象在轴左侧无交点，故无负实根………10分
（Ⅲ）解：
点与点为上关于直线对称的两点
……………………………11分
·，……………………………12分
·又在上单调递增，……14分
20．（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）……………………………1分
时满足上式，故……………………………2分
∵=1∴……………………………3分
∵①
∴②
∴①+②，得……………………………5分
（Ⅱ）∵，∴………………………………6分
∴，①
，②
①－②得…………………………8分
即…………………………9分
要使得不等式恒成立，
恒成立对于一切的恒成立，
即………………………………11分
令，则
当且仅当时等号成立，故………………………………13分
所以为所求.………………………………14分
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