广州一模数学文试卷含答案.doc
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2017广州一模文科数学试题
绝密★启用前
2017年广州市普通高中毕业班综合测试
（一）
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：
本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
开始
＝3
k＝k＋1
输出k,n
结束
是
否
输入
（1）复数的虚部是
（A）（B）（C）（D）
（2）已知集合，则实数的值为
（A）（B）（C）（D）
（3）已知，且，则
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
（4）阅读如图的程序框图.若输入,则输出的值为
（A）（B）（C）（D）
（5）已知函数则
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
（6）已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别
是双曲线的左,右焦点,点在双曲线上,且,则等于
（A）（B）（C）（D）
（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的
硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没
有相邻的两个人站起来的概率为
（A）（B）（C）（D）
（8）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是
某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,
且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是
（A）（B）（C）（D）
（9）设函数，若曲线在点处的切线方程为
，则点的坐标为
（Ａ）（Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）或
（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四
个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑,⊥平面,
，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面
积为
（A）（B）（C）（D）
（11）已知函数是奇函数，直线
与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则
（A）在上单调递减（B）在上单调递减
（C）在上单调递增（D）在上单调递增
（12）已知函数,则的值为
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。
第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本小题共4题，每小题5分。
（13）已知向量，，若∥，则.
（14）若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的
标准方程是.
（15）满足不等式组的点组成的图形的面积是,则实数
的值为.
（16）在△中,,当△的周长最短时,
的长是.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且（nN*）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
（18）（本小题满分12分）
某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
质量指标值
频数
（190,195]
9
（195,200]
10
（200,205]
17
（205,210]
8
（210,215]
6
图1：
乙流水线样本频率分布直方图
表1：
甲流水线样本的频数分布表
（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；
（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两
条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（Ⅲ）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这
种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
附：
（其中为样本容量）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（19）（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形中，//，⊥，⊥,点是边的
中点,将△沿折起，使平面⊥平面，连接,,,得到如
图2所示的几何体.
（Ⅰ）求证：
⊥平面；
（Ⅱ）若与其在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面
的距离.
图1图2
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）若是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴,试判断直线
的斜率是否为定值？
若是，求出该值；若不是，说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若函数有零点,求实数的取值范围;
（Ⅱ）证明:
当时,.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值.
（23）（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若，求实数的取值范围;
（Ⅱ）若R,求证：
.
2017年广州市普通高中毕业班综合测试
（一）
文科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
（1）B
（2）A（3）C（4）B（5）A（6）C
（7）B（8）C（9）D（10）C（11）D（12）B
二、填空题
（13）（14）（15）（16）
三、解答题
（17）解:
（Ⅰ）当时，，即，………………………………………1分
解得．………………………………………………………2分
当时，，………………3分
即，………………………………………………………4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列．……………………………………5分
所以（nN*）．………………………………………………6分
（Ⅱ）因为，………………………………………………8分
所以………………………………………………9分
………………………………………………10分
………………………………………………11分
．………………………………………………12分
（18）解：
（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为
，
………………………………………1分
则……………………………3分
解得．………………………………………4分
（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为………………………5分
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，………6分
于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产
的不合格品件数分别为：
．…………………………8分
（Ⅲ）列联表:
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
35
40
75
不合格品
15
10
25
合计
50
50
100
…………………………10分
则，……………………………………………11分
因为
所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线
的选择有关”．……………………………………………………12分
（19）解：
（Ⅰ）因为平面⊥平面，平面平面，
又⊥，所以⊥平面.…………………………………1分
因为平面，所以⊥…………………………………2分
又因为折叠前后均有⊥，∩,…………………………………3分
所以⊥平面.…………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面，所以在平面内的正投影为，
即∠为与其在平面内的正投影所成角.……………………………5分
依题意，
因为所以.…………………………6分
设，则,
因为△～△，所以，………………………………7分
即，
解得，故.………………………………8分
由于⊥平面，⊥,为的中点,
由平面几何知识得,
同理,
所以.…………………………9分
因为⊥平面，所以.………………………10分
设点到平面的距离为,
则,…………………………11分
所以，即点到平面的距离为.…………………………12分
（20）解:
（Ⅰ）因为椭圆的离心率为,且过点,
所以,.………………………………………………2分
因为,
解得,,………………………………………………3分
所以椭圆的方程为.……………………………………………4分
（Ⅱ）法1：
因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对
称.设直线的斜率为,则直线的斜率为.………………………………5分
所以直线的方程为,直线的方程为.
设点,,
由消去,得.①
因为点在椭圆上,所以是方程①的一个根,则,
……………………………………………6分
所以.……………………………………………7分
同理.……………………………………………8分
所以.……………………………………………9分
又.……………………………………………10分
所以直线的斜率为.…………………………………………11分
所以直线的斜率为定值，该值为.……………………………………………12分
法2：
设点，
则直线的斜率,直线的斜率.
因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.
所以,即,①………………………………………5分
因为点在椭圆上,
所以，②
.③
由②得,得,④………………………6分
同理由③得,⑤………………………………………………7分
由①④⑤得,
化简得,⑥……………………………8分
由①得,⑦……………………………9分
⑥⑦得.…………………………………………10分
②③得,得.…………………11分
所以直线的斜率为为定值.…………………………………12分
法3：
设直线的方程为，点，
则,
直线的斜率,直线的斜率.………………………5分
因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.
所以,即,……………………………………………6分
化简得.
把代入上式,并化简得
.（*）…………………………………7分
由消去得,（**）
则,……………………………………………8分
代入（*）得,……………………………9分
整理得,
所以或.……………………………………………10分
若,可得方程（**）的一个根为，不合题意.………………………………11分
若时,合题意.
所以直线的斜率为定值，该值为.……………………………………………12分
（21）解:
（Ⅰ）法1:
函数的定义域为.
由,得.……………………………………1分
因为,则时,;时,.
所以函数在上单调递减,在上单调递增.………………………2分
当时,.…………………………………………………3分
当,即时,又,则函数有零点.…4分
所以实数的取值范围为.……………………………………………………5分
法2：
函数的定义域为.
由,得.…………………………………………………1分
令，则.
当时,;当时,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.……………………2分
故时,函数取得最大值.…………………………3分
因而函数有零点,则.………………………………………4分
所以实数的取值范围为.…………………………………………………5分
（Ⅱ）要证明当时,,
即证明当时,,即.………………………6分
令,则.
当时,;当时,.
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
当时,.……………………………………………………7分
于是,当时,①……………………………………8分
令,则.
当时,;当时,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
当时,.……………………………………………………9分
于是,当时,②……………………………………………………10分
显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.…………………………………11分
故当时,.……………………………………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）由消去得,………………………………………1分
所以直线的普通方程为.………………………………………2分
由,……3分
得.………………………………………4分
将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为,即.………5分
（Ⅱ）法1:
设曲线上的点为,………………………………6分
则点到直线的距离为…………………………7分
………………………………………8分
当时,,………………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分
法2:
设与直线平行的直线为,………………………………………6分
当直线与圆相切时,得,………………………………………7分
解得或（舍去）,
所以直线的方程为.………………………………………8分
所以直线与直线的距离为.…………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分
（23）解：
（Ⅰ）因为，所以.………………………………………1分
①当时，得，解得，所以;……………2分
②当时，得，解得，所以;……………3分
③当时，得，解得，所以;……………4分
综上所述，实数的取值范围是.………………………………………5分
（Ⅱ）因为R,
所以……………………………7分
……………………………………………………………………8分
……………………………………………………………………9分
.……………………………………………………………………10分
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