参数方程与极坐标(精华版).doc

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参数方程与极坐标

参数方程知识回顾：

一、定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即　，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．

二、二次曲线的参数方程

1、圆的参数方程：

中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

　　（为参数，的几何意义为圆心角），

特殊地，当圆心是原点时，

注意：

参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1：

已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：

（1）x2+y2的最值；

（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。

Eg2：

将下列参数方程化为普通方程

（1）x=2+3cos

（2）x=sin（3）x=t+

y=3siny=cosy=t2+

总结：

参数方程化为普通方程步骤：

（1）消参

（2）求定义域

2、椭圆的参数方程：

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：

　　（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）

注意：

离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：

Eg：

求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。

3、双曲线的参数方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线：

　（为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线：

4、抛物线的参数方程：

顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

　　（t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）

直线方程与抛物线方程联立即可得到。

三、一次曲线（直线）的参数方程

过定点P0（x0，y0），倾角为的直线，P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程　　（t为参数，t的几何意义为有向距离）

说明：

①t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧

②｜P0P｜=｜t｜

直线参数方程的变式：

，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当t前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得

，让作为t，则此时t的几何意义是有向距

离。

Eg：

求直线x=-1+3t

y=2-4t，求其倾斜角.

极坐标知识回顾：

一、定义：

在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ,θ）就叫做点M的极坐标。

这样建立的坐标系叫做极坐标系。

练习:

在同一直角坐标系中，画出以下四个点

A（1，）B（2，）C（3，-）

思考：

上述点关于极轴以及极点的对称点

说明：

（1）极坐标有四个要素：

①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．

（2）在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P（，），但平面内任一个点P的极坐标不唯一，因为具有周期.

（3）如无特殊要求，则极径取正值.

直角坐标与极坐标的互化：

直角坐标（x，y）极坐标（，）

=

tan=

极坐标（，）直角坐标（x，y）

x=

y=

练习1：

将下列直角坐标化为极坐标

A（1，-1）B（1，π）

练习2：

将下列极坐标化为直角坐标

A（2，）B（1，2）

练习3：

分别求下列条件中AB中点的极坐标

（1）（4，）（6，-）；

（2）（4，）（6，）

二、直线的极坐标方程

⑴或+π⑵⑶

⑷⑸

三、圆的极坐标方程

⑴⑵⑶

⑷⑸

四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）

设=P

，

其中，当01为双曲线

考点一：

直线参数方程中参数的意义．

1．已知直线经过点,倾斜角，

（1）写出直线的参数方程。

（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。

解：

（1）直线的参数方程为，即

（2）把直线代入得

，则点到两点的距离之积为

2．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。

解：

设直线为，代入曲线并整理得

则所以当时，即，的最小值为，此时。

3．直线被圆截得的弦长为.

【解析】：

，把直线代入

得

，弦长为

4．直线和圆交于两点，则的中点坐标为________

解：

，得，

中点为

考点二：

用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定

1．直线与圆相切，则_______________。

2．在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值。

考点三：

用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题

1．在极坐标系中，曲线 与 的交点的极坐标为______．

2.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点极坐标为.

考点四：

用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题

一、

1．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。

2．已知直线与直线相交于点，又点，则_______。

3．直线被圆截得的弦长为______________。

二、距离最大最小问题

4．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。

解：

设椭圆的参数方程为，

当时，，此时所求点为。

5．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。

解：

设，则即，

当时，；当时，。

考点五：

极坐标方程与参数方程混合

1．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）。

在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。

【解析】（Ⅰ）由得即

（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即由于，故可设是上述方程的两实根，

所以故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|==。

2． 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．

（I）求的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．

解：

（I）设P（x，y），则由条件知M（）.由于M点在C1上，所以

即

从而的参数方程为（为参数）

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为。

所以.

3.已知直线C1：

（t为参数），圆C2：

（θ为参数）．

（1）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；

（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

解：

（1）当α＝时，C1的普通方程为y＝（x－1），C2的普通方程为x2＋y2＝1.

联立方程组解得C1与C2的交点为（1,0），（，－）．

（2）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为（sin2α，－cosαsinα），

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为

（α为参数）．

P点轨迹的普通方程为（x－）2＋y2＝.故P点轨迹是圆心为（，0），半径为的圆．

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