函数对称性的三类题型.doc

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对称性

一、有关对称性的常用结论

（一）函数图象自身的对称关系（加法）

1、轴对称

（1）=函数图象关于轴对称；

（2）函数图象关于对称

；

（3）若函数定义域为，且满足条件，则函数的图象关于直线对称。

2、中心对称

（1）=－函数图象关于原点对称；.

（2）函数图象关于对称

；

（3）函数图象关于成中心对称

（4）若函数定义域为，且满足条件（为常数），则函数的图象关于点对称。

（二）两个函数图象之间的对称关系（减法）

1.若函数定义域为，则两函数与的图象关于直线对称。

推论1：

函数与函数的图象关于直线对称。

推论2：

函数与函数的图象关于直线对称。

2.若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称。

推论：

函数与函数图象关于点对称。

类型一：

双对称问题

1.设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________

解：

因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为，所以也是的对称轴，故是以2为周期的周期函数，所以。

2.（2005年广东卷I）设函数，，且在闭区间［0，7］上只有。

（1）试判断函数的奇偶性；非奇非偶函数

（2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

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3.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则：

_____________

解：

函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以

类型二：

对称轴和对称中心的判断

1.函数为偶函数，则函数的图像的对称轴方程为

2.函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为

（-2，0）

3.函数y=f（x+1）与函数y=f（3-x）的图象关于__________对称

解：

由命题1知，两函数图象关于,即关于直线x=1对称。

4.函数，该函数图象的对称中心是.

【分析】本例的函数是等次分式函数，自然想到分离法，化归为反比例函数变换所得.

【解法】函数，该函数可由反比例函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位所得.

因为反比例函数的对称中心是自然也进行相应地平移，

所以函数图象的对称中心是

类型三：

求值

1.已知函数f（x）＝，若f（a）＝，则f（－a）＝________.

2.设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．

解析：

f（x）＝＝1＋.设g（x）＝，则g（－x）＝＝－g（x），

所以g（x）是R上的奇函数．所以若g（x）的最大值是W，则g（x）的最小值是－W.所以函数f（x）的最大值是1＋W，最小值是1－W，即M＝1＋W，m＝1－W，所以M＋m＝2.

答案：

2

3.，则．

解析是由平移得到的，

由于是奇函数，图象关于原点对称，

因此的对称中心为，，

所以

，

故答案为11

三次函数的图形都是对称图形

对于任意三次函数，它的图像有唯一的对称中心

（2012年四川）设函数，是公差为的等差数列，则

A.B.C.D.

解析

把奇函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位就是的图象了，所以的图象关于对称.

又因为是公差为的等差数列，所以和、和都关于直线对称，

所以与、与都关于对称.

又因为已知条件

所以，，，.

所以