福建省高三质检理科数学试题WORD版.doc
《福建省高三质检理科数学试题WORD版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省高三质检理科数学试题WORD版.doc（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
准考证号姓名
（在此卷上答题无效）
机密★启用前
2016年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分
150分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的的值等于3，
则输入的的值可以是
（A）（B）（C）8（D）
（3）已知，，则的值等于
（A）（B）（C）（D）
（4）已知，则“”是“”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）若满足约束条件则的取值范围为
（A）（B）
（C）（D）
（6）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为
（A）4（B）5（C）6（D）7
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为
（A）（B）8（C）（D）
（8）在中，，，，，则
（A） （B） （C） （D）
（9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为
（A）（B）（C）（D）
（10）在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为
（A）（B）（C）（D）
（11）已知分别为双曲线的左、右焦点，若点是以为直径的圆与右支的一个交点，交于另一点，且，则的渐近线方程为
（A）（B）（C）（D）
（12）已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是
（A）对于任意，<0（B）对于任意，>0
（C）当且仅当，<0（D）当且仅当，>0
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
（13）若随机变量，且，则．
（14）若展开式中的常数项为，则 ．
（15）若数列的各项均为正数，前项和为，且，则．
（16）已知点，且平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则四边形的面积为．
三．解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
在△中，，点在边上，，且．
（Ⅰ）若△的面积为，求；
（Ⅱ）若，求．
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值．
（19）（本小题满分12分）
甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：
甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为（单位：
元）,求的分布列和数学期望；
（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，以为圆心的圆过点，且．
（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；
（Ⅱ）设是圆上的点，过点且垂直于的直线交于两点，证明：
．
（21）（本小题满分12分）
已知函数，．曲线与在原点处的切线相同．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若时，，求的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修：
几何证明选讲
如图，△的两条中线和相交于点，且四点共圆．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若，求．
（23）（本小题满分10分）选修：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的普通方程和的倾斜角；
（Ⅱ）设点，和交于两点，求．
（24）（本小题满分10分）选修：
不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）设，证明：
．
2016年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）B
（2）C（3）D（4）A（5）B（6）C
（7）B（8）C（9）D（10）D（11）A（12）B
二、填空题：
本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13）（14）（15）（16）
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）因为,即， 2分
又因为,，所以． 3分
在△中,由余弦定理得，, 5分
即，解得． 6分
（Ⅱ）在△中，，可设，则，
又，由正弦定理，有， 7分
所以． 8分
在△中,，
由正弦定理得，，即， 10分
化简得，
于是． 11分
因为，所以，
所以或,
解得，故． 12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为，
所以．
取中点，连结，
所以． 7分
设，因为，所以．
在△中，． 8分
以下同解法一．
（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）连结，在中，，
由余弦定理得，，
∴，…………………………………………1分
∴，
∴．………………………………………2分
又∵为等腰直角三角形，且，
∴，
又∵，
∴平面． 4分
又∵平面，
∴． 5分
（Ⅱ）∵，
∴，∴． 6分
如图，以为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
7分
则，
∴． 8分
设平面的法向量，
由得令，得．
∴平面的一个法向量为．……………………9分
∵，
……………………………………………………………………………10分
∴，….……………11分
∴与平面所成角的正弦值为． 12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）过点作平面，垂足为，连结，
则为与平面所成的角． 6分
由（Ⅰ）知，，，，，
∴，∴，
又∵，∴平面， 7分
∴． 8分
取中点，连结，∵，∴．
又在中，，∴，∴，
∴，
∴． 9分
∵，
∴，即，∴． 10分
∵平面，平面，∴，
三棱柱中，，，
∴，∴． 11分
在中，，
所以与平面所成的角的正弦值为． 12分
（19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．
解：
（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件，
则． 4分
（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为，则
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以的所有可能取值为152,156,160,166,172． 6分
故的分布列为：
152
156
160
166
172
8分
． 9分
（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为
． 10分
所以甲公司送餐员日平均工资为元． 11分
由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为元．
因为，故推荐小明去乙公司应聘． 12分
（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）将代入，得，所以， 1分
又因为，所以△是等腰直角三角形，
所以，即，
解得，
所以抛物线，…………………………………………3分
此时圆的半径为，
所以圆的方程为． 4分
（Ⅱ）设，
依题意，即． 5分
（ⅰ）当直线斜率不存在时，，
①当时，由，得．
不妨设，
则即．
②当时，同理可得，．………………….6分
（ⅱ）当直线斜率存在时，因为直线与抛物线交于两点，
所以直线斜率不为零，且．
因为，所以，
所以，…………………………………………………..7分
直线．
由得，， 8分
即，所以， 9分
所以 10分
，
所以． 12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设，依题意，即，（*） 5分
设，则，
， 6分
由于，，
所以 7分
注意到， 8分
由
（1）知，若，则，此时不满足（*），故，
从而
（1），
（2）可化为． 9分
以下同解法一.
（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）因为，， 2分
依题意，，解得， 3分
所以，当时，；当时，．
故的单调递减区间为，单调递增区间为． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，取得最小值0．
所以，即，从而．
设
则， 6分
（ⅰ）当时，因为，所以（当且仅当时等号成立），
此时在上单调递增，从而，即． 7分
（ⅱ）当时，由于，所以． 8分
由（ⅰ）知，所以，故，即．
9分
（ⅲ）当时，令，则，
显然在上单调递增，又，
所以在上存在唯一零点， 10分
当时，所以在上单调递减，
从而，即所以在上单调递减，
从而当时，，即，不合题意． 11分
综上，实数的取值范围为． 12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，取得最小值0．
所以，即，从而．
设
则， 6分
（ⅰ）当时，在恒成立，所以在单调递增．
所以，即． 9分
（ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，当时，（当且仅当时等号成立），
所以当时，，．
所以
． 10分
于是当时，所以在上单调递减.
故当时，，即，不合题意． 11分
综上，实数的取值范围为． 12分
解法三：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）（ⅰ）当时，由（Ⅰ）知，当时，取得最小值0．
所以，即，从而，即．
所以，，． 6分
（ⅱ）当时，
设则，
令，则．
显然在上单调递增． 7分
①当时，，所以在上单调递增，；
故，所以在上单调递增，，即．
9分
②当时，由于，
所以在上存在唯一零点， 10分
当时，单调递减，
从而，即在上单调递减，
从而当时，，即，不合题意． 11分
综上，实数的取值范围为． 12分
请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
（22）选修：
几何证明选讲
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．
解法一：
（Ⅰ）连结，因为四点共圆，则． 2分
又因为为△的两条中线，
所以点分别是的中点，故． 3分
所以， 4分
从而． 5分
（Ⅱ）因为为与的交点，
故为△的重心，延长交于，
则为的中点，且． 6分
在△与△中，因为，，
所以△∽△， 7分
所以，即．………………………………………………………9分
因为，，，
所以，即，
又，所以． 10分
解法二：
（Ⅰ）同解法一． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因为四点共圆，所以， 6分
所以∽，所以， ……………………………………………7分
由割线定理，， 9分
又因为是的中线，所以是的重心，
所以,又，
所以，所以，
所以，因为，所以． 10分
（23）选修；坐标系与参数方程
本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解法一：
（Ⅰ）由消去参数，得，
即的普通方程为． 2分
由，得，………（＊） 3分
将代入（＊），化简得， 4分
所以直线的倾斜角为． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），
即（为参数）， 7分
代入并化简，得． 8分
．
设两点对应的参数分别为，
则，所以 9分
所以． 10分
解法二：
（Ⅰ）同解法一. 5分
（Ⅱ）直线的普通方程为.
由消去得， 7分
于是.
设，则，所以，
8分
故. 10分
（24）选修：
不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解法一：
（Ⅰ）（ⅰ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式的解是； 2分
（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式无解； 3分
（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式的解是； 4分
综上，． 5分
（Ⅱ）因为 6分
7分
． 8分
因为，所以，， 9分
所以，即． 10分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为， 7分
所以，要证，只需证，
即证， 8分
即证，
即证，即证． 9分
因为，所以，所以成立，
所以原不等式成立． 10分
欢迎访问“高中试卷网”——http:
//sj.fjjy.org
·19·
升级会员 