第十章排列组合和概率(第14课)二项式定理(3)--2004-12-14.doc
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高中数学教案第十章排列组合和概率(第14课时)王新敞
课题:
10.4二项式定理(三)
教学目的:
1理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用;
2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题;
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力
教学重点:
二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
教学难点:
二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
教具:
多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.二项式定理及其特例:
(1),
(2).
2.二项展开式的通项公式:
3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课:
1 二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数,当依次取…时,二项式系数表,表中每行两端都是,除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2.二项式系数的性质:
展开式的二项式系数是,,,…,.可以看成以为自变量的函数
定义域是,例当时,其图象是个孤立的点(如图)
(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵).
直线是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值.∵,
∴相对于的增减情况由决定,,
当时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;
当是偶数时,中间一项取得最大值;当是奇数时,中间两项,取得最大值.
(3)各二项式系数和:
∵,
令,则
三、讲解范例:
例1.在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明:
在展开式中,令,则,
即,
∴,
即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
说明:
由性质(3)及例1知.
例2.已知,求:
(1);
(2);(3).
解:
(1)当时,,展开式右边为
∴,
当时,,∴,
(2)令,①
令,②
①②得:
,∴.
(3)由展开式知:
均为负,均为正,
∴由
(2)中①+②得:
,
∴,
∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解:
=,
∴原式中实为这分子中的,则所求系数为
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数
解:
∵
∴在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为,
在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为
∴展开式中含x的项为,
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展开式的常数项
解:
依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!
=4n(n-1)/2!
n=10
设第r+1项为常数项,又
令,
此所求常数项为180
四、课堂练习:
(1)的展开式中二项式系数的和为,各项系数的和为,二项式系数最大的项为第项;
(2)的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为.
(3)+++,则()
A. B. C. D.
(4)已知:
,
求:
的值
答案:
(1),,;
(2)展开式中只有第六项的二项式系数最大,
∴,;
(3)A.
五、小结:
1.性质是组合数公式的再现,性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性,性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和;
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:
求的近似值,使误差小于.
解:
,
展开式中第三项为,小于,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴,
一般地当较小时
新疆奎屯市第一高级中学第5页(共5页)