三角函数复习教案.doc
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【讲练平台】
例1已知角的终边上一点P（－，m），且sinθ=m，求cosθ与tanθ的值．
分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．
解由题意知r=，则sinθ==．
又∵sinθ=m，∴=m．∴m=0，m=±．
当m=0时，cosθ=－1，tanθ=0；
当m=时，cosθ=－，tanθ=－；
当m=－时，cosθ=－，tanθ=．
点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法（三角函数的定义）解决．
例2已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．
分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之．
解E=｛θ｜＜θ＜}，F=｛θ｜＜θ＜π，或＜θ＜2π}，
∴E∩F=｛θ｜＜θ＜π}．
例3设θ是第二象限角，且满足｜sin|=－sin，是哪个象限的角?
解∵θ是第二象限角，∴2kπ+＜θ＜2kπ+，k∈Z．
∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z．
∴是第一象限或第三象限角．①
又∵｜sin|=－sin，∴sin＜0.∴是第三、第四象限的角．②
由①、②知，是第三象限角．
点评已知θ所在的象限，求或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错．
第2课同角三角函数的关系及诱导公式
【考点指津】
掌握同角三角函数的基本关系式：
sin2α+cos2α=1，=tanα，tanαcotα=1，掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题．
【讲练平台】
例1化简．
分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．
解原式==
==1．
点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．
例2若sinθcosθ=，θ∈（，），求cosθ－sinθ的值．
分析已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．
解（cosθ－sinθ）2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－=．
∵θ∈（，），∴cosθ＜sinθ．
∴cosθ－sinθ=－．
变式1条件同例，求cosθ+sinθ的值．
变式2已知cosθ－sinθ=－，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．
点评sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．
例3已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．
分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．
解原式=cos2θ+sinθcosθ===．
点评1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．
2．注意1的作用:
1=sin2θ+cos2θ等．
第3课两角和与两角差的三角函数
（一）
【考点指津】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．
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例1已知sinα－sinβ=－，cosα－cosβ=，求cos（α－β）的值．
分析由于cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．
解∵sinα－sinβ=－，①cosα－cosβ=，②
①2＋②2，得2－2cos（α－β）=．
∴cos（α－β）=．
点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．
例2求的值．
分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．
解∵10°=30°－20°，
∴原式=
===．
点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．
例3已知：
sin（α+β）=－2sinβ．求证：
tanα=3tan（α+β）．
分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．
解∵2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α，
∴sin［（α+β）+α］=－2sin［（α+β）－α］．
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=－2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα．
若cos（α+β）≠0，cosα≠0，则3tan（α+β）=tanα．
点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体
第4课两角和与两角差的三角函数
（二）
【考点指津】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．
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例1求下列各式的值
（1）tan10°＋tan50°+tan10°tan50°；
（2）．
（1）解原式=tan（10°+50°）（1－tan10°tan50°）+tan10°tan50°=．
（2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．
解原式==
=
=
点评
（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan（A+B）（1－tanAtanB），asinx+bsinx=sin（x+φ）的运用；
（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．
例2求证=．
分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．
由欲证的等式可知，可先证等式=，此式的右边等于tan2θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．
证略
点评注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式：
①升幂公式1+cos2α=2cos2α，1－cos2α=2sin2α，②降幂公式sin2α=，cos2α=的运用；三角恒等式证明的方法：
从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．
例3已知cos（+x）=，＜x＜，求的值．
解原式==sin2x×=sin2xtan（+x）
=－cos［2（x+）］tan（x+）=－［2cos2（x+）－1］tan（+x）
∵＜x＜，∴＜x+＜2π．
∴sin（+x）=－，∴tan（+x）=－．
∴原式=－．
点评
（1）注意两角和公式的逆用；
（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+．
第5课三角函数的图象与性质
（一）
【考点指津】
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．
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例1
（1）函数y=的定义域为
（2）若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足（C）
A．α＞βB．α＜βC．α+β＜D．α+β＞
分析
（1）函数的定义域为（*）的解集，由于y=tanx的最小正周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出（－，）上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，或2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}．
分析
（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cosβ转化成sin（－β），运用y=sinx在［0，］的单调性，便知答案为C．
点评
（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；
（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．
例2判断下列函数的奇偶性：
（1）y=；
（2）y=
分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f（－x）是否等于f（x）或－f（x）．
解
（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．
（2）定义域不关于原点对称（如x=－，但x≠），故不是奇函数，也不是偶函数．
点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．
例3求下列函数的最小正周期：
（1）y=sin（2x－）sin（2x+）；
（2）y=
分析对形如y=Asin（ωx+φ）、y=Acos（ωx+φ）和y=Atan（ωx+φ）的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．
解
（1）y=sin（2x－）sin（2x+－）=sin（4x－），
所以最小正周期为=．
（2）y==
=∴是小正周期为．
点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin（ωx+φ）＋k或y=Acos（ωx+φ）＋k或y=Atan（ωx+φ）＋k的形式（其中A、ω、φ、k为常数，ω≠0）．
例4已知函数f（x）=5sinxcosx－5cos2x+（x∈R）．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）图象的对称轴、对称中心．
分析函数表达式较复杂，需先化简．解f（x）=sin2x－5×＋=5sin（2x－）．
（1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－，kπ+］（k∈Z）为f（x）的单调增区间．
（2）令2x－=kπ+，得x=π+（k∈Z），则x=π+（k∈Z）为函数y=f（x）图象的对称轴所在直线的方程，令2x－=kπ，得x=π+（k∈Z），∴y=f（x）图象的对称中心为点（π+，0）（k∈Z）．点评研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性．
第6课三角函数的图象与性质
（二）
【考点指津】
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．
【讲练平台】
例1函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．
分析求函数的解析式，即求A、ω、φ的值．A与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π．得T=6π，所以ω=．所以y=2sin（+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin（＋）．
解略
点评y=Asin（ωx+φ）中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．
x
y
ππ
3
－3
O
例2右图为某三角函数图像的一段
（1）试用y=Asin（ωx+φ）型函数表示其解析式；
（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．
解：
（1）T=－=4π．
∴ω==．又A=3，由图象可知
所给曲线是由y=3sin沿x轴向右平移而得到的．
∴解析式为y=3sin（x－）．
（2）设（x，y）为y=3sin（x－）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x，y），故与y=3sin（x－）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin［（4π－x）－］=－3sin（x＋）．
点评y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象由y=sinωx的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．
例3已知函数y=cos2x+sinxcosx+1（x∈R）．
（1）当y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解
（1）y=·+·sin2x+1=sin（2x+）+．
当2x+=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z时，ymax=．
（2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移个单位即可．
思考还有其他变换途径吗？
若有，请叙述．
点评
（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．
（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．
第7课三角函数的最值
【考点指津】
掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．
【讲练平台】
例1求函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值．
分析由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简．
解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2
当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，ymax=+2．
点评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=sin（x+φ）．
例2若θ∈［－,］，求函数y=cos（+θ）+sin2θ的最小值．
分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．
解y=cos（+θ）－cos［2（θ+）］=cos（+θ）－［2cos2（θ+）－1］
=－2cos2（θ+）+cos（+θ）+1=－2［cos2（θ+）－cos（θ+）］+1
=－2［cos（θ+）－］2+．
∵θ∈［－,］，∴θ＋∈［，］．
∴≤cos（θ+）≤，∴y最小值=．
点评
（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f（sinx）或g（cosx）），是常见的转化目标；
（2）形如y=f（sinx）或y=g（cosx）的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．
例3试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．
分析由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题．
解令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=（t+）2+，且t∈［－，］，
∴ymin=，ymax=3+．
点评注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题．
第8课解斜三角形
【考点指津】
掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．
【讲练平台】
例1在△ABC中，已知a=3，c=3，∠A=30°，求∠C及b
分析已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．
解∵∠A=30°，a＜c，c·sinA=＜a，∴此题有两解．
sinC===，∴∠C=60°，或∠C=120°．
∴当∠C=60°时，∠B=90°，b==6．
当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．
点评已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论．
例2在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．
分析欲判断△ABC的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．
解方法一：
由余弦定理，得a·（）=b·（），
∴a2c2－a4－b2c2+b4=0．
∴（a2－b2）（c2－a2－b2）=0．
∴a2－b2=0，或c2－a2－b2=0．
∴a=b，或c2=a2+b2．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二：
由acosA=bcosB，得2RsinAcosA=2RsinBcosB．
∴sin2A=sin2B．∴2A=2B，或2A=π－2B．
∴A=B，或A+B=．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
点评若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．
例3已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，
BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．
·
A
B
C
D
O
分析四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的
面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需
求出∠A即可．所以，只需寻找∠A的方程．
解连结BD，则有四边形ABCD的面积
S=S△ABD+S△CDB=AB·AD·sinA+BC·CD·sinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
故S=（2×4+6×4）sinA=16sinA．
在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADc
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