这组变式题,通过引发学生头脑中固有思维模式的冲突,使学生加深了对“定义域关于原点对称”的必要性的理解。
教学中,设置反例、错例辨析的变式训练,通过对问题正面、侧面、反面的分析,使学生发现问题的症结所在,达到去伪存真、由此及彼的目的。
(三)、利用变式教学深化基础知识,拓展学生的数学思维。
著名的数学教育家波利亚曾形象地指出:
“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很可能附近就有好几个。
”数学教学中,通过对一个基本问题的变式,引导学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法,探索问题的发展变化,使其在更深入、更透彻地理解问题的本质的同时拓展了数学思维。
例如:
在进行增、减函数的概念教学时,为了让学生熟练掌握增、减函数的定义,需要进行概念深化变式。
也就是探求概念的等价形式或变式含义,并探讨等价形式及变式含义的应用,达到透彻理解概念、灵活应用概念的目的。
因此要学生注意增、减函数定义的如下两种等价形式:
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或的解释.在形成概念后,不应急于应用概念去解决问题,而应对概念作进一步的探讨,通过辨析型变式和等价深化变式,使学生对概念有更加深刻的理解,让学生既知其然,又知其所以然。
数学变式教学以一胜多、举一反三的变式训练,给数学教学注入了生机和活力,提高了学生的兴趣,调动了学生的积极性,使其学得轻松,并且避免“题海”,从而提高了课堂教学效率和教学质量,对学生掌握知识、促进思维和培养能力等方面起着非常重要的作用。
然而,变式教学不能变成教师整节课的精彩演绎和拓展,决不能一时兴起就刹不住车,教师讲得神采飞扬,酣畅淋漓,学生听得头昏脑胀,应对不暇。
教师必需注意学生的感觉,控制变式的节奏、变式的维度及变式的深度。
“变”与“不变”,都要让学生去体验。
教师的作用应该主要是引导和点拨,使学生去思考和比较,发现变式问题中的“变”与“不变”。
三、数学变式教学在高中数学教学中的应用举例
例1:
如在新授定理“a+b≥2”,其中a,b∈R+,(当且仅当a=b时取“=”号)的定理时,强调定理使用的条件是:
“一正二定三相等”。
通过如下课本习题进行变式教学:
原题:
已知x>0,求y的最小值。
变式1:
x∈R,函数y有最小值吗?
为什么?
变式2:
已知x>0,求y的最小值;
变式3:
x>3,函数y的最小值为2吗?
均值不等式是高中阶段的一个重点,但学生在使用时,很容易忘记定理使用的条件“一正二定三相等”。
因此在教学中由课后习题出发,利用条件特殊化即将原题中一般条件,改为具有特定性的条件,使题目具有特殊性。
设计三个变式练习的解答,使学生加深了对定理成立条件的理解与掌握,为定理的正确使用打下了较坚实的基础。
例2:
原题:
在椭圆上求一点P,使它与两个焦点的连线互相垂直。
变式1:
椭圆的两个焦点是F1、F2,点P为它上面一动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是___________。
分析:
受原题的启发,无论是钝角还是锐角,都是以直角为参照,该题解法很多,但以几何法最为简洁。
如图,以坐标原点O为圆心,以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点,由直径所对的圆周角是直角可知:
当点P位于A、B、C、D四点时,∠F1PF2为直角,当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时,∠F1PF2为钝角;锐角的情况不言而喻,易求点P横坐标的取值范围。
变式2:
F1、F2是椭圆C:
的两焦点,在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________。
分析:
该题只将求点的坐标改为判断点的个数,但解法是相同的,只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数。
变式3:
设椭圆的两个焦点是F1(-C,0),F2(C,0),C>0,且椭圆上存在点P,使得PF1与PF2垂直,求实数m的取值范围。
分析:
显然该题在椭圆中引入参数,将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题,解法是相同的,要使椭圆上存在点使PF1⊥PF2,只需以F1F2为直径的圆与椭圆有交点,也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长即得。
评注:
圆锥曲线是高中教学很重要的一部分内容,也是学生较难掌握的。
教师在复习的过程中将习题进行变式,不仅加深了学生对椭圆概念的理解,而且通过分析以F1F2为直径的圆与椭圆有交点情况,培养了学生数形结合的思维能力,符合学生的认识规律。
例3:
已知x、y≥0且x+y=1,求x2+y2的取值范围。
分析:
由x+y=1得y=1-x,则x2+y2=2x2-2x+1,
因为x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知:
当x=0.5时,x2+y2取最小值0.5;当x=0或1时,x2+y2取最大值1。
变式:
已知a、b为非负数,M=a3-a2+ab,a+b=1,求M的最值。
评注:
函数思想是中学阶段基本的数学思想之一,揭示了一种变量之间的联系,往往用函数观点来探求变量的最值。
对于二元或多元函数的最值问题,往往是通过变量替换转化为一元函数来解决。
同时解决函数的最值问题,我们已经有比较深的函数理论,如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
原题中利用函数知识,代入法来解决,变式中利用导数可以求函数的最值,不但复习了运用函数思想求变量的最值的常见方法,同时也有助于在教学中引导学生对函数思想的形成,加强学生对函数概念及其性质的理解。
四、高中数学变式教学中应注意的问题
在教学实践中也发现,有些教师对变式教学的“度”把握不准确,不能因材施教,在教学中单纯地为了练习而练习,给学生造成了过重的学习和心理负担,使学生产生了逆反心理,“高投入、低产出”,事倍而功半。
同时,有的教师要注意教学要有梯度,循序渐进,切不可搞“一步到位”,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决,降低学习的效率。
总之,数学变式教学要源于课本又要高于课本,要明确目的,遵循课标,要突出重点,以点带面,在教学的过程中要针对实际,因人而异。
著名的数学教育家波利亚曾形象的指出:
“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个。
”数学课堂教学中,变式教学就是数学教育家波利亚所说的“蘑菇”,它能够充分调动学生的主观能动性,使多向性、多层次的交互作用引进数学教学过程,教师通过变式教学,不但使学生能举一反三,而且能使教学结构发生质的变化,使学生成为创造的主人。