三角函数最值问题的几种常见类型.doc

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求三角函数最值问题的几种常见类型

1：

此类函数利用即可求解，显然

[例1]求的最大值与最小值

例.在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。

解：

由，得，则当时，有最大值。

　2．y=asinx+bcosx型的函数

特点是含有正余弦函数，并且是一次式。

解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用课本中现成的公式即可：

y=sin（x+φ），其中

例1（2004年全国，理4）函数在区间[0，]上的最小值为___。

[解析]：

=2（）

=2（）=2

因为，所以，当时，易知y的最小值为

[答案]所以应填“1”。

　　　　例2已知函数f（x）=2cosxsin（x+）－sin2x+sinxcosx

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；

（3）若当x∈［，］时，f（x）的反函数为f－1（x），求f-－1

（1）的值.

解：

（1）f（x）=2cosxsin（x+）－sin2x+sinxcosx

=2cosx（sinxcos+cosxsin）－sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x=2sin（2x+）

∴f（x）的最小正周期T=π

（2）当2x+=2kπ－，即x=kπ－（k∈Z）时，f（x）取得最小值－2.

（3）令2sin（2x+）=1，又x∈［］,

∴2x+∈［,］,∴2x+=，则

x=，故f-－1

（1）=.

　　3．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数。

　　此类函数可先降次，再整理转化形式解决，

例．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。

　　4．y=asin2x+bcosx+c型的函数

　　特点是含有sinx,cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成形如的二次函数来求解。

例是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？

若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

综合上述知，存在符合题设

　　5．y=型的函数

　　特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。

几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种，如利用万能公式换元后用判别式处理。

　　例．求函数y=的最大值和最小值。

　　解法1：

原解析式即：

sinx-ycosx=2-2y,即sin（x+φ）=，

　　∵|sin（x+φ）|≤1,∴≤1，解出y的范围即可。

　　解法2：

表示的是过点（2,2）与点（cosx,sinx）的斜率，而点（cosx,sinx）是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。

　　解法3：

应用万能公式设t=tg（）　　则y=，即（2-3y）t2-2t+2-y=0

根据Δ≥0解出y的最值即可。

可看作是单位圆上的动点P与Q连线的斜率，设直线的方程为

即，则圆心（0,0）到它的距离

解得或

【附】：

求的值域（反解法）

又

函数的值域

利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。

例.求函数的最大值和最小值。

解：

由已知得，

即，

所以

因，

即解得，

故

　　6．y=sinxcos2x型的函数。

　　它的特点是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。

因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。

但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。

例、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=k·，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

解：

R=rcosθ，由此得：

，

　　注：

本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。

7．含有“的三角函数的最值问题

　　此类函数的常用解决方法是将转化为的函数关系，，并应用（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx进行转化最终划归为二次函数的最值问题。

解此类型最值问题通常令

例．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

　　解：

令sinx+cosx=t,（-≤t≤），则1+2sinxcosx=t2，所以2sinxcosx=t2-1,

所以y=t2-1+t=（t+）2-.

根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+。

求函数的最值。

8：

利用函数单调性求最值

求的最值及对应的的集合

：

将分子展开转化为的形式来解决

令则且设

窗体顶端

9、形如的形式

例4.求函数的最大值和最小值。

解：

由，得，，

，即

此题是利用了分离分母的方法求解的。

例1：

求函数的值域。

解：

由变形为，知，则有，，则此函数的值域是

利用函数的有界性求解

10、形如的形式

例5.求的最小值。

解：

设，则。

从图2中可以看到在区间上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。

当时，

［点评］若由，可得最小值是错误的。

这是因为当等号成立时，，

即是不可能的。

若把此题改为就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。

条件最值问题。

例1：

已知，求的取值范围。

解：

∵，∴

∵∴

∵\

∵∴sinα=0时，；时，

∴。

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