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2011-2017新课标（文科）圆锥曲线分类汇编

一、选择填空

【2011新课标】4．椭圆的离心率为（D）

A． B． C． D．

【解析】，也可以用公式，故选D.

【2011新课标】9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（C）

A．18 B．24 C．36 D．48

【解析】易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.

【2012新课标】4．设F1、F2是椭圆E：

（a>b>0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（C）

A． B． C． D．

【解析】∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，，，∴=，，，故选C.

【2012新课标】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）

A． B． C．4 D．8

【解析】由题设知抛物线的准线为：

，设等轴双曲线方程为：

，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2，∴的实轴长为4，故选C.

【2013新课标1】4.已知双曲线C：

（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）

A．B．C．D．y＝±x

【解析】∵，∴，即，∵c2＝a2＋b2，∴.∴.

∵双曲线的渐近线方程为，∴渐近线方程为，故选C。

【2013新课标1】8.O为坐标原点，F为抛物线C：

y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为（　C　）．

A．2B．C．D．4

【解析】利用|PF|＝，可得xP＝，∴yP＝，∴S△POF＝|OF|·|yP|＝。

【2013新课标2】5.设椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（　D　）

A．B．C．D．

【解析】如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan30°＝，得，

而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，

∴，∴.

【2013新课标2】10.抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（　C　）．

A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝或y＝

C．y＝或y＝D．y＝或y＝

【解析】由题意可得抛物线焦点F（1,0），准线方程为x＝－1，

当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，

垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.

设|AM|＝|AF|＝3t（t＞0），|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，

在△AMK中，由，得，

解得x＝2t，则cos∠NBK＝，

∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.

∴斜率k＝tan60°＝，故直线方程为y＝．

当直线l的斜率小于0时，如图所示，

同理可得直线方程为y＝，故选C.

【2014新课标1】（4）已知双曲线的离心率为2，则（D）

A.2B.C.D.1

【解析】：

由双曲线的离心率可得，解得，选D.

【2014新课标2】10.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于两点，则=（C）

（A）（B）6（C）12（D）

【2014新课标2】12.设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是（A）

（A）（B）（C）（D）

【2015新课标1】（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：

y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（B）

（A）3（B）6（C）9（D）12

【2015新课标1】16.已知F是双曲线C：

x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）.当△APF周长最小是，该三角形的面积为126。

【2015新课标2】15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程。

【2016新课标1】5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（B）

（A）（B）（C）（D）

【2016新课标1】15.设直线y=x+2a与圆C：

x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若AB=23，则圆C的面积为。

【2016新课标2】5.设F为抛物线C：

y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（D）

（A）（B）1（C）（D）2

【解析】，又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D.

【2016新课标2】6.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（A）

（A）−（B）−（C）（D）2

【解析】圆心为，半径，所以，解得，故选A.

【2016新课标3】12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：

的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点，.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）

（A）（B）（C）（D）

【2016新课标3】（15）已知直线l：

圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|=4.

【2017新课标1】5．已知F是双曲线C：

x2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3）.则△APF的面积为（D）

A． B． C． D．

【2017新课标1】12．设A、B是椭圆C：

长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（A）

A．B．C． D．

【2017新课标2】5.若＞1，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A.B.C.D.

【解析】a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率为：

==∈（1，），选C

【2017新课标2】12.过抛物线C:

y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为（C）

A.B.C.D.

【解析】抛物线C：

y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：

y=（x﹣1），

过抛物线C：

y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l

可知：

，解得M（3，2），可得N（﹣1，2），NF的方程为：

y=﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：

=2，故选C．

【2017新课标3】11．已知椭圆C：

，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（A）

A． B． C． D．

【解析】由题意可得：

，得，又，，

【2017新课标3】14．双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a=5.

【解析】渐近线方程为，由题知，所以。

二、解答题

【2011新课标】20.在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上。

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线交与A，B两点，且，求a的值.

【解析】

（1）曲线与坐标轴的交点为（0,1），故可设圆的圆心坐标为

（3，t），则有，解得t=1，圆的半径为，

所以圆的方程为。

（2）设A（x1,y1），B（x2,y2）坐标满足方程组，消去y得到方程，由已知可得判别式△=56-16a-4a2>0，

由韦达定理可得，①，

由OA⊥OB，可得，又，

∴②，由①②可得a=-1，满足△>0，故a=-1.

【2012新课标】20.设抛物线C：

x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。

（1）若∠BFD=90º，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。

【解析】

（1）设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为，则|FE|=，|FA|=|FB|=|FD|=，E是BD的中点，∵，

∴，|BD|=，设A（，），根据抛物线定义得，|FA|=，∵的面积为，∴===，

解得=2，∴F（0,1）,|FA|=，∴圆F的方程为：

.

（2）【方法1】∵，，三点在同一条直线上,∴是圆的直径，，

由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－，

∴直线的方程为：

，∴原点到直线的距离=，

设直线的方程为：

，代入得，，

∵与只有一个公共点，∴=，∴，

∴直线的方程为：

，∴原点到直线的距离=，

∴坐标原点到，距离的比值为.

【方法2】由对称性设，则，点关于点对称得：

得，

直线，切点，

直线，

坐标原点到距离的比值为

【2013新课标1】21.已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。

（1）求C的方程；

（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|。

【解析】由已知得圆M的圆心为M（－1,0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1,0），半径r2＝3。

设圆P的圆心为P（x，y），半径为R。

（1）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为（x≠－2）．

（2）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R＝2。

所以当圆P的半径最长时，其方程为（x－2）2＋y2＝4

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝。

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，

可求得Q（－4,0），所以可设l：

y＝k（x＋4），由l与圆M相切得＝1，解得k＝.

当k＝时，将代入，

并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，所以|AB|＝|x2－x1|＝.

当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝，综上，|AB|＝或|AB|＝。

【2013新课标2】20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为。

（1）求圆心P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程。

【解析】

（1）设P（x，y），圆P的半径为r，由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3，

故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.

（2）设P（x0，y0），由已知得，又P点在双曲线y2－x2＝1上，

从而得由得此时，圆P的半径r＝，

由得此时，圆P的半径，

故圆P的方程为x2＋（y－1）2＝3或x2＋（y＋1）2＝3.

【2014新课标1】20.已知点，圆:

，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点。

（1）求的轨迹方程；

（2）当时，求的方程及的面积。

【参考答案】：

（1）圆C的方程可化为,所以圆心为C（0,4）,半径为4。

设M（x,y）,则，，,由题设知,

故，即

由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是

（2）由

（1）可知M的轨迹是以点N（1,3）为圆心,2为半径的圆。

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM，因为ON的斜率为3,所以的斜率为,

直线的方程为：

又，到的距离为，，所以的面积为：

。

【2014新课标2】20.设分别是椭圆：

（a>b>0）的左右焦点，M是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为N。

（1）若直线MN的斜率为，求的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b。

【解析】

（1）根据及题设知，将代入，解得（舍去），故的离心率为

（2）由题意，原点为的中点，轴，

所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即①

由得。

设，由题意知，则即

代入的方程，得②

将①及代入②得，

解得，故

【2015新课标1】20.已知过点A（0,1）且斜率为k的直线l与圆C（x-2）2+（y-3）2=1交于M,N两点.

（1）求K的取值范围；

（2）若·=12，其中0为坐标原点，求︱MN︱.

【2015新课标2】已知椭圆：

的离心率为，点在C上。

（1）求的方程；

（2）直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两个交点,，线段的中点为。

证明：

直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．

【解析】

（1）如图所示，由题设得又点的坐标满足椭圆的方程，所以，

联立解得：

（2）设A,B两点的坐标为

上面两个式子相减得：

（定值）

【2016新课标1】20.在直角坐标系中，直线l:

y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：

于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

（1）求；

（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？

说明理由.

【解析】

（1）由已知得，，又为关于点的对称点，故，

的方程为，代入整理得，解得，

，因此，所以为的中点，即.

（2）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：

直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点。

【2016新课标2】21.已知A是椭圆E：

的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（1）当时，求的面积

（2）当时，证明：

。

【解析】

（1）椭圆的左顶点为，

因为且，所以为等腰直角三角形，所以轴．

设交轴与点，所以为等腰直角三角形，所以得，

因为点在椭圆上，所以，

整理得，解得或（舍去）．所以的面积。

（2）设直线方程，联立椭圆直线方程，消去整理得．

设点，于是，

所以，所以，

因为，所以．因为，所以，

即，设，则，所以函数在区间内单调递增，因为，，所以函数的零点，即的取值范围是。

【2016新课标3】20.已知抛物线C：

y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。

【解析】

（1）由题设，设，则，

且.

记过两点的直线为，则的方程为

由于在线段上，故，记的斜率为，的斜率为，则

，所以

（2）设与轴的交点为，则

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.，

当与轴不垂直时，由可得，

而，∴；

当与轴垂直时，与重合。

所以，所求轨迹方程为

【2017新课标1】20.设A，B为曲线C：

y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程。

【解析】

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，x1+x2=4，

于是直线AB的斜率。

（2）由，得，设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）。

设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2,2+m），|MN|=|m+1|。

将代入得，当，即时，。

从而，由题设知，即，解得.

所以直线AB的方程为。

【2017新课标2】20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

【解析】

（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．

可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，

代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；

（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），

•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，

即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，

即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），

由kOQ=﹣，kPF=，由kOQ•kPF=﹣1，

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

【2017新课标3】20.在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0,1），当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？

说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。

【解析】

（1）令，，又，，为的根，

假设成立，，，

不能出现的情况

（2）令圆与轴的交点为，，令圆的方程为

令得的根为，，令得…….①

点在①上，解得或

在轴上的弦长为3，为定值。

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