一轮复习专题：数列中的存在性问题.doc

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苏州分公司金阊校区数学组

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专题：

数列中的存在性问题

学大苏分教研中心周坤

一、单存在性变量

解题思路：

该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{}的前项和为=，在数列{}中，=8，=0，问是否存在常数使得对任意，恒为常数，若存在求出常数和,若不存在说明理由.

解析：

假设存在常数使得对任意，恒为常数，

∵=，

∴当=1时，则==8，

当≥2时，===，

当=1适合，

∴=，

又∵=0，∴=，

∴数列{}是首项为8，公比为的等比数列，

∴==，

则===，

又∵对任意，恒为常数，

∴=0，解得=2，

∴==11，

∴存在常数=2使得对任意，恒为常数=11.

二、双存在型变量

解题思路：

先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。

如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。

例2、【2010南通一模】

设等差数列的前项和为且．

（1）求数列的通项公式及前项和公式；

（2）设数列的通项公式为，问:

是否存在正整数t，使得

成等差数列？

若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.

【解】

（1）设等差数列的公差为d.由已知得………………2分

即解得……………………………………………………………4分.

故.…………………………………………………………………6分

（2）由

（1）知.要使成等差数列，必须，即，………………………………………………………………8分.

（3）整理得，……………………………………………………………11分

因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.

当时，；当时，；当时，.

故存在正整数t，使得成等差数列.………………………………15分

例3、设数列的前项和，数列满足.

（Ⅰ）若成等比数列，试求的值；

（Ⅱ）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？

若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由.

解：

（Ⅰ）因为，所以当时，……………………3分

又当时，，适合上式，所以（）…………………4分

所以，则，由，

得，解得（舍）或，所以………………7分

（Ⅱ）假设存在，使得成等差数列，即，则

，化简得…………………………………12分

所以当时，分别存在适合题意，

即存在这样，且符合题意的共有9个………………………………………14分

例4、【2010徐州三模】

已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；

（2）是否存在正整数，使得成等比数列？

若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.

解：

（1）因为是等差数列，由，

又因为，所以，………………………………………………………2分

由

所以．……………………………6分

（2）由

（1）知，，所以，

若成等比数列，则，即．……8分

解法一：

由，可得，

所以，……………………………………………………………12分

从而：

，又，且，所以，此时．

故可知：

当且仅当，使数列中的成等比数列。

…………16分

解法二：

因为，故，即，………12分

从而：

，（以下同上）．

三、三个存在型变量------连续的

解题思路：

这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。

可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。

例5、【扬州2010一模】

已知数列，.

⑴求证：

数列为等比数列；

⑵数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？

试说明理由；

⑶设，其中为常数，且，

，求A∩B.

解：

⑴∵=，∴，

∵∴为常数

∴数列为等比数列------------------------------------------------------------4分

⑵取数列的连续三项，

∵，

，∴，即，

∴数列中不存在连续三项构成等比数列；------------------------------------------9分

⑶当时，，此时；

当时，为偶数；而为奇数，此时；

当时，，此时；----------------------------------------------12分

当时，，发现符合要求，

下面证明唯一性（即只有符合要求）。

由得，

设，则是上的减函数，

∴的解只有一个

从而当且仅当时，即，此时；

当时，，发现符合要求，

下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）。

从而当且仅当时，即，此时；

综上，当，或时，；

当时，，

当时，。

------------------------------16分

四、三个存在型变量------不同的

解题思路：

这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项……，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。

另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。

具体的，该类问题可以分成三类。

其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）

例6、【扬州2010三模】

已知数列满足：

（为常数），

数列中，。

⑴求；

⑵证明：

数列为等差数列；

⑶求证：

数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。

解：

⑴由已知，得，

，。

……………………………4分

⑵，

∴，又，

∴数列是首项为，公差为的等差数列。

……………………………………9分

⑶证明：

由⑵知，……………………………………………10分

若三个不同的项成等比数列，、、为非负整数，且，则，得，……………………………12分

若，则，得==，这与矛盾。

…………14分

若，则，

∵、、为非负整数，

∴是有理数。

………………………………………………………………16分

例7、等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

（2）设bn＝（n∈N*），求证：

数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

（1）解：

由已知得

∴d＝2，

故an＝2n－1＋，Sn＝n（n＋）．

（2）证明：

由

（1）得bn＝＝n＋.

假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则

即（q＋）2＝（p＋）（r＋），

∴（q2－pr）＋（2q－p－r）＝0.

∵p，q，r∈N*，

∴

∴2＝pr，（p－r）2＝0，

∴p＝r.这与p≠r相矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾）；

例8、【无锡市2010年秋学期高三期末考试】

由部分自然数构成如图的数表，用表示第行第个数（），使，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。

设第行中各数之和为。

（1）求；

（2）用表示；

（3）试问：

数列中是否存在不同的三项，，（）恰好成等差数列？

若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由。

（1）……………………………………………………………………2分

（2）

=；……………………………………………………………………6分

（3）∵，∴……………………………8分

所以是以为首项，2为公比的等比数列，………………9分

则…………………………………………11分

若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，

不妨设，显然是递增数列，则…………………12分

即2，化简得：

………………………………（*）…………………………14分

由于，且，知≥1，≥2，

所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，

故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。

………………………………………………………………………………………16分

例9、【2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】

已知数列{an}的通项公式为an=（nÎN*）.

⑴求数列{an}的最大项；

⑵设bn=，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；

⑶设，问：

数列{an}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？

如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.

解⑴由题意an=2+,随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1=4.…4分

⑵bn===，若{bn}为等比数列，

则b–bnbn+2=0（nÎN*）所以[（2+p）3n+1+（2–p）]2–[{2+p）3n+（2–p）][（2+p）3n+2+（2–p）]=0（nÎN*），

化简得（4–p2）（2·3n+1–3n+2–3n）=0即–（4–p2）·3n·4=0,解得p=±2.………………………7分

反之,当p=2时,bn=3n,{bn}是等比数列;当p=–2时,bn=1,{bn}也是等比数列.所以,当且仅当p=±2时{bn}为等比数列.……………………………………………………………………………………10分

⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，…………12分

化简得（*），

因为，

所以，，

所以，，（*）

左边，

右边，所以（*）式不可能成立，

故数列{an}中不存在三项，，，使数列，，是等差数列.……………16分

例10、【无锡市2011一模】

已知数列的首项，．

（1）求证：

数列为等比数列；

（2）记，若，求最大的正整数．

（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

解：

（1）∵，∴，………………………2分

且∵，∴，……………………………3分

∴数列为等比数列．…………………………………4分

（2）由

（1）可求得，∴．……………5分

，…7分

若，则，∴．………………………………9分

（3）假设存在，则，……………………10分

∵，∴．……………………12分

化简得：

，………………………………………………………13分

∵，当且仅当时等号成立．…………………15分

又互不相等，∴不存在．………………………………………………16分

其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等”，从而找出矛盾，说明不存在。

例11、【2012上海一联】

设等比数列的前项和为，已知

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列（如：

在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推），设第个等差数列的和是.是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？

若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；

（3）对于

（2）中的数列，这个数列中是否存在不同的三项（其中正整数成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.

解：

（1）设，由知，，………2分

解得，∴…………………………………………………………4分

（2）依题意，；

要使，则，…………………………………8分

∴，即存在满足条件；………10分

（3）对于

（2）中的数列，若存在不同的三项（其中正整数成等差数列）成等比数列，则，即

∵，

∴，即………………………………………14分

由①②可得，与是不同的三项矛盾，

∴不存在不同的三项（其中正整数成等差数列）成等比数列.…16分

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