高考总复习三角恒等变换专题习题附解析.doc
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三角恒等变换专题习题
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝（ ）
A．－3 B．－
C．－ D．－7
解析 依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.
答案 B
2．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是（ ）
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析 cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.
答案 C
3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为（ ）
A. B.
C. D．－1
解析 ∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－（sin2θ）2＝.
答案 B
4．已知α＋β＝，则（1＋tanα）（1＋tanβ）的值是（ ）
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析 ∵α＋β＝，tan（α＋β）＝＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴（1＋tanα）（1＋tanβ）＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ
＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.
答案 C
5.
（2014·成都诊断检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos（α＋β）的值为（ ）
A．－ B．－
C．0 D.
解析 cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·（－）－·＝－.选A.
答案 A
6．若＝－，则sinα＋cosα的值为（ ）
A．－ B．－
C. D.
解析 ∵（sinα－cosα）＝－（cos2α－sin2α），
∴sinα＋cosα＝.
答案 C
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．若tan＝，则tanα＝________.
解析 ∵tan＝＝，
∴5tanα＋5＝2－2tanα.
∴7tanα＝－3，∴tanα＝－.
答案 －
8．（2013·江西卷）函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
解析 y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋
＝2sin（2x－）＋，所以T＝π.
答案 π
9．（2013·新课标全国卷Ⅰ）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
解析 f（x）＝sinx－2cosx＝（sinx－cosx）＝sin（x－φ）而sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f（x）取最大值．cosθ＝cos（φ＋＋2kπ）＝－sinφ＝－＝－.
答案 －
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10．已知tan2θ＝（<θ<π），求的值．
解 ∵tan2θ＝＝，
∴tanθ＝－3或tanθ＝.
又θ∈（，π），∴tanθ＝－3.
∴＝＝
＝＝－.
11．已知函数f（x）＝2cos（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈，f＝－，
f＝，求cos（α＋β）的值．
解
（1）∵T＝10π＝，∴ω＝.
（2）由
（1）得f（x）＝2cos，
∵f＝2cos＝－2sinα＝－.
∴sinα＝，cosα＝.
∵f＝2cosβ＝，
∴cosβ＝，sinβ＝.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝－.
12．（2013·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
解 （Ⅰ）因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cosC＝＝＝－.
故C＝.
（Ⅱ）由题意得
＝.
因此（tanαsinA－cosA）（tanαsinB－cosB）＝，
tan2αsinAsinB－tanα（sinAcosB＋cosAsinB）＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin（A＋B）＋cosAcosB＝.①
因为C＝，A＋B＝，所以sin（A＋B）＝，
因为cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝－＝.
由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.
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