三角恒等变换专题Word文档格式.doc

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4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：

角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：

利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：

两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：

明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

5.常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）

二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

1、的值等于（）

2、若，，则等于（）

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

3、coscos的值等于（）

4、已知，且，那么等于（）

考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

5、已知则的值等于（）

6、已知则值等于（）

7、函数是（C）

（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数

（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数

三、解题方法分析

1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。

解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。

例1设则有（）

【点评】：

本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。

例如：

sincos=，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）等。

另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。

特别是与特殊角有关的sin±

cosx，±

sinx±

cosx，要熟练掌握其变形结论。

2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口

（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`

【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。

例2．已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．（－

（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，2α=（α－β）+（α+β））

例2解答：

例3．化简：

［2sin50°

+sin10°

（1+tan10°

）］·

．

【解析】：

原式=

=．

本题属于“理解”层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：

项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。

（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。

因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。

例4：

已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．。

【解析】

`

===－17

本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件

运用方程思想达到求值的目的。

（3）运用换元思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个

式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。

例5：

若求的取值范围。

令，则

即

∴，即

本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过

代数、三角变换等手段求出取值范围。

3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点

【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的

联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。

例6：

已知：

向量，，函数

（1）若且，求的值；

或

（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角．

∵＝

（2）

∴，当时，由

得，　　　∴

本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.

四、课堂练习

1．sin165º

=（）A．　B．C．D．

2．sin14º

cos16º

+sin76º

cos74º

的值是（）A．B．C．D．

3．已知，，则（）A．B．C．D．

4．化简2sin（－x）·

sin（+x），其结果是（　　　）　

Ａ．sin2x　　　Ｂ．cos2x　　　Ｃ．－cos2x　　　Ｄ．－sin2x

5．sin—cos的值是（）

A．0B．—C．D．2sin

6．

A．B．C． D．

7．若，，则角的终边一定落在直线（）上。

A．B．C．D．

8．

9．＝

10．的值是.

11．求证：

．12．已知，求的值．

13．已知求的值。

14．若,且,求的值。

15．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．不等边三角形 D．直角三角形

16．化简．

17.求证：

18．已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos．

五.总结：

常见题型及解题技巧（手记）

六、今日作业，详见学案（手记）：

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