高一数学必修第三章《三角恒等变换》检测题.doc

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第三章《三角恒等变换》综合检测题

一、选择题

1．sin2－cos2的值为（　　）

A．－　　B.　　　C．－　　　 D.

2．函数f（x）＝sin2x－cos2x的最小正周期是（　　）

A.B．πC．2π D．4π

3．已知cosθ＝，θ∈（0，π），则cos（＋2θ）＝（　　）

A．－B．－C. D.

4．若tanα＝3，tanβ＝，则tan（α－β）等于（　　）

A．－3B．－C．3 D.

5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是（　　）

A.B.C. D．1＋

6．y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是（　　）

A.B．－C．2 D．－2

7．若tanα＝2，tan（β－α）＝3，则tan（β－2α）＝（　　）

A．－1B．－C. D.

8．已知点P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），则||的最大值是（　　）

A.B．2C．4 D.

9．函数y＝的最小正周期为（　　）

A．2πB．πC. D.

10．若函数f（x）＝sin2x－（x∈R），则f（x）是（　　）

A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为π的奇函数

C．最小正周期为2π的偶函数

D．最小正周期为π的偶函数

11．y＝sin（2x－）－sin2x的一个单调递增区间是（　　）

A．[－，] B．[，π]

C．[π，π] D．[，]

12．已知sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则log（）2等于（　　）

A．2B．3C．4 D．5

二、填空题

13．（1＋tan17°）（1＋tan28°）＝________.

14．（2012·全国高考江苏卷）设α为锐角，若cos＝，则sin的值为______．

15．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α＝________.

16．设向量a＝（，sinθ），b＝（cosθ，），其中θ∈（0，），若a∥b，则θ＝________.

三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值．

18．（本题满分12分）设x∈[0，]，求函数y＝cos（2x－）＋2sin（x－）的最值．

19．（本题满分12分）已知tan2θ＝2tan2α＋1，求证：

cos2θ＋sin2α＝0.

20．（本题满分12分）已知向量a＝（cos，sin），b＝（cos，－sin），c＝（－1），其中x∈R.

（1）当a⊥b时，求x值的集合；

（2）求|a－c|的最大值．

21．设函数f（x）＝cos（2x＋）＋sin2x

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x＋）＝g（x），且当x∈时，g（x）＝－f（x）；求函数g（x）在[－π，0]上的解析式。

22．（本题满分12分）已知函数f（x）＝（1－tanx）·[1＋sin（2x＋）]，求：

（1）函数f（x）的定义域和值域；

（2）写出函数f（x）的单调递增区间．

第三章《三角恒等变换》综合检测题答案

一、选择题

1、[答案]　C[解析]　原式＝－（cos2－sin2）＝－cos＝－.

2、[答案]　B[解析]　f（x）＝sin2x－cos2x＝sin（2x－），故T＝＝π.

3、[答案]　C[解析]　cos（＋2θ）＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝

4、[答案]　D[解析]　tan（α－β）＝＝＝.

5、[答案]　A[解析]　原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝.

6、[答案]　B[解析]　y＝cos2x＋sin2x＝sin（2x＋），∴ymax＝－.

7、[答案]　D

[解析]　tan（β－2α）＝tan[（β－α）－α]＝＝＝.

8、[答案]　B

[解析]　＝（cosβ－cosα，sinβ－sinα），则||＝＝，故||的最大值为2.

9、[答案]　C

[解析]　y＝＝tan（2x＋），∴T＝.

10、[答案]　D

[解析]　f（x）＝sin2x－＝－（1－2sin2x）＝－cos2x，∴f（x）的周期为π的偶函数．

11、[答案]　B

[解析]　y＝sin（2x－）－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－（sin2xcos＋cos2xsin）＝－sin（2x＋），其增区间是函数y＝sin（2x＋）的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈[，]．

12、[答案]　C

[解析]　由sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝得，∴∴＝5∴log（）2＝log52＝4.

二、填空题

13、[答案]　2

[解析]　原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan（17°＋28°）＝＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.

14、[答案]　

[解析]　∵α为锐角，∴<α＋<，∵cos＝，∴sin＝；

∴sin＝2sincos＝，

cos（2α＋）＝cos（α＋）2－sin2（α＋）＝

∴sin＝sin＝sincos－cossin＝.

15、[答案]　

[解析]　cos2α＝2cos2α－1＝得cos2α＝，由cos2α＝1－2sin2α＝得sin2α＝（或据sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝），代入计算可得．

16、[答案]　

[解析]　若a∥b，则sinθcosθ＝，即2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈（0，），∴θ＝.

三、解答题

17、[解析]　因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝.

又α∈（π，），故sinα＋cosα＝－＝－，

所以＝＝＝＝－.

18、[解析]　y＝cos（2x－）＋2sin（x－）

＝cos2（x－）＋2sin（x－）

＝1－2sin2（x－）＋2sin（x－）＝－2[sin（x－）－]2＋.

∵x∈[0，]，∴x－∈[－，]．

∴sin（x－）∈[－，]，

∴ymax＝，ymin＝－.

19、[证明]　cos2θ＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝－sin2α＋sin2α＝0.

20、[解析]　

（1）由a⊥b得a·b＝0，即coscos－sinsin＝0，则cos2x＝0，得x＝＋（k∈Z），∴x值的集合是{x|x＝＋，k∈Z}．

（2）|a－c|2＝（cos－）2＋（sin＋1）2

＝cos2－2cos＋3＋sin2＋2sin＋1

＝5＋2sin－2cos＝5＋4sin（－），则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.

21、[解析]　f（x）＝cos（2x＋）＋sin2x＝cos2x－sin2x＋（1－cos2x）＝－sin2x

（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T＝＝π

（Ⅱ）当x∈时，g（x）＝－f（x）＝sin2x

当x∈，（x＋）∈g（x）＝g（x＋）＝sin2（x＋）＝－sin2x

当x∈时，

（x＋π）∈　g（x）＝g（x＋π）＝sin2（x＋π）＝sin2x

得：

函数g（x）在[－π，0]上的解析式为g（x）＝

22、[解析]　f（x）＝（1－）（1＋sin2xcos＋cos2xsin）＝（1－）（2sinxcosx＋2cos2x）＝2（cosx－sinx）（cosx＋sinx）＝2（cos2x－sin2x）＝2cos2x.

（1）函数f（x）的定义域{x|x≠kπ＋，k∈Z}．

∵2x≠2kπ＋π，k∈Z，∴2cos2x≠－2.

∴函数的值域为（－2,2]

（2）令2kπ－π<2x≤2kπ（k∈Z）得kπ－

∴函数f（x）的单调递增区间是（kπ－，kπ]（k∈Z）．