3、幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0，）
值域
R
[0，）
R
[0，）
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，）时，增；
x∈时，减
增
增
x∈（0,+）时，减；
x∈（-,0）时，减
定点
（1，1）
三：
例题诠释，举一反三
知识点1：
指数幂的化简与求值
例1.（2007育才A）
（1）计算：
；
（2）化简：
变式：
（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
（3）
知识点2：
指数函数的图象及应用
例2.（2009广附A）已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：
①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式：
（2010华附A）若直线与函数且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.
知识点3：
指数函数的性质
例3.（2010省实B）已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断函数的单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
变式：
（2010东莞B）设a＞0,f（x）=是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）求证：
f（x）在（0，+∞）上是增函数.
知识点4：
对数式的化简与求值
例4.（2010云浮A）计算：
（1）
（2）2（lg）2+lg·lg5+;
（3）lg-lg+lg.
变式：
（2010惠州A）化简求值.
（1）log2+log212-log242-1;
（2）（lg2）2+lg2·lg50+lg25;
（3）（log32+log92）·（log43+log83）.
知识点5：
对数函数的性质
例5.（2011深圳A）对于，给出下列四个不等式：
①②；
③④其中成立的是（）
（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④
变式：
（2011韶关A）已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是（）
A.logaB.
C.D.
例6.（2010广州B）已知函数f（x）=logax（a＞0,a≠1），如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f（x）|≥1成立，试求a的取值范围.
变式：
（2010广雅B）已知函数f（x）=log2（x2-ax-a）在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
知识点6：
幂函数的图象及应用
例7.（2009佛山B）已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有：
（１）；（２）；（３）．
变式：
（2009揭阳B）已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.
（1）求函数f（x）;
（2）讨论F（x）=a的奇偶性.
四：
方向预测、胜利在望
1．（A）函数的定义域为（）
A．（1，4）B．[1，4）C．（－∞，1）∪（4，＋∞）D．（－∞，1]∪（4，＋∞）
2.（A）以下四个数中的最大者是（）
（A）（ln2）2 （B）ln（ln2） （C）ln （D）ln2
3（B）设a>1，函数f（x）=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为则a=（）
（A）（B）2（C）2（D）4
4.（A）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（）
（A） （B） （C） （D）
5.（B）设f（x）=则不等式f（x）>2的解集为（）
（A）（1，2）（3，+∞）（B）（，+∞）
（C）（1，2）（，+∞）（D）（1，2）
6．（A）设，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．（A）已知，则（）
A． B．C．D．
8．（B）下列函数中既是奇函数，又是区间上单调递减的是（）
（A）（B）
（C）（D）
9.（A）函数的定义域是：
（ ）
ABCD
10.（A）已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（）
A．B．C．D．
11．（B）若函数、三、四象限，则一定有（）
A．B．
C．D．
12．（B）若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（）
A. B. C. D.
13.（A）已知0＜x＜y＜a＜1，则有（）
（A）（B）
（C）（D）
14.（A）已知，那么等于（）
（A） （B）8 （C）18 （D）
15．（B）函数y＝lg|x|（）
A．是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增 B．是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减
C．是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增 D．是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减
16.（A）函数的定义域是____________________________.
17．（B）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．
18．（A）设则__________
19．（B）若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围为___________.
20．（B）若函数是奇函数，则a=．
21.（B）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
参考答案：
三：
例题诠释，举一反三
例1.解：
（1），
（2）
变式：
解：
（1）1,
（2）（3）110
例2.解：
B
变式：
解：
；
例3.解：
（Ⅰ）（Ⅱ）减函数。
（Ⅲ）
变式：
解：
（1）a=1.
（2）略
例4.解：
（1）-1.
（2）1.（3）.
变式：
解：
（1）
（2）2.（3）
例5.解：
选D。
变式：
解：
C
例6.解：
（1，3］∪［，1）
变式：
解：
{a|2-2≤a＜2}
例7.解：
（1）当或时，；
（2）当时，；
（3）当且时，．
变式：
解：
（1）f（x）=x-4.
（2）F（x）=，∴F（-x）=+bx3.
①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；
③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；
④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.
四：
方向预测、胜利在望
1—5ADDDC；6—10AADDA；11—15CADDB.
16.（-¥,3）È（3,4）17.418.19.[-1,0]20.
21．[解]x须满足
所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
，所以是奇函数.
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1得>0，即在（0，1）内单调递减，
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.
9
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