高中数学-公式-柯西不等式.doc

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第一课时3.1二维形式的柯西不等式

（一）

2.练习：

已知a、b、c、d为实数，求证

①提出定理1：

若a、b、c、d为实数，则.

证法一：

（比较法）=….=

证法二：

（综合法）

.（要点：

展开→配方）

证法三：

（向量法）设向量，，则，.

∵，且，则.∴…..

证法四：

（函数法）设，则

≥0恒成立.

∴≤0，即…..

③二维形式的柯西不等式的一些变式：

或或.

④提出定理2：

设是两个向量，则.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）

→讨论：

上面时候等号成立？

（是零向量，或者共线）

⑤练习：

已知a、b、c、d为实数，求证.

证法：

（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：

其几何意义？

（构造三角形）

2.教学三角不等式：

①出示定理3：

设，则.

分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明

→变式：

若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

3.小结：

二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

第二课时3.1二维形式的柯西不等式

（二）

教学过程：

；

3.如何利用二维柯西不等式求函数的最大值?

要点：

利用变式.

二、讲授新课：

1.教学最大（小）值：

①出示例1：

求函数的最大值？

分析：

如何变形？

→构造柯西不等式的形式→板演

→变式：

→推广：

②练习：

已知，求的最小值.

解答要点：

（凑配法）.

2.教学不等式的证明：

①出示例2：

若，，求证：

.

分析：

如何变形后利用柯西不等式？

（注意对比→构造）

要点：

…

讨论：

其它证法（利用基本不等式）

②练习：

已知、，求证：

.

3.练习：

①已知，且，则的最小值.

要点：

….→其它证法

②若，且，求的最小值.（要点：

利用三维柯西不等式）

变式：

若，且，求的最大值.

第三课时3.2一般形式的柯西不等式

2.提问：

二维形式的柯西不等式？

如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：

；

二、讲授新课：

1.教学一般形式的柯西不等式：

①提问：

由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？

②猜想：

n维向量的坐标？

n维向量的柯西不等式及代数形式？

结论：

设，则

讨论：

什么时候取等号？

（当且仅当时取等号，假设）

联想：

设，，，则有，可联想到一些什么？

③讨论：

如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？

（注意分类）

要点：

令，则

.

又，从而结合二次函数的图像可知，

≤0

即有要证明的结论成立.（注意：

分析什么时候等号成立.）

④变式：

.（讨论如何证明）

2.教学柯西不等式的应用：

①出示例1：

已知，求的最小值.

分析：

如何变形后构造柯西不等式？

→板演→变式：

②练习：

若，且，求的最小值.

③出示例2：

若>>，求证：

.

要点：

②提出排序不等式（即排序原理）：

设有两个有序实数组:

···;···.···是，···的任一排列,则有

···+（同序和）

+···+（乱序和）

+···+（反序和）

当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.

（要点：

理解其思想，记住其形式）

2.教学排序不等式的应用：

①出示例1：

设是n个互不相同的正整数，求证：

.

分析：

如何构造有序排列？

如何运用套用排序不等式？

证明过程：

设是的一个排列，且，则.

又，由排序不等式，得

…

小结：

分析目标，构造有序排列.

②练习：

已知为正数，求证：

.

解答要点：

由对称性，假设，则，

于是，，

两式相加即得.