选修1-1第三章-导数及其应用导学案.doc
《选修1-1第三章-导数及其应用导学案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修1-1第三章-导数及其应用导学案.doc（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
第三章导数及其应用
沈丘三高高二数学导学案
编写人：
楚志勇审稿人：
高二数学组
§3.1.1变化率问题
【使用课时】：
1课时
【学习目标】：
1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
【学习重点】：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
【学习方法】：
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】：
一、课前准备（预习教材P72~P74，找出疑惑之处）
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？
气球的体积（单位:
）与半径（单位:
）之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________
h
t
o
问题2高台跳水
在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h（单位：
m）与起跳后的时间t（单位：
s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
在这段时间里，=_________________
在这段时间里，=_________________
问题3平均变化率已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数从到___________.习惯上用表示，即=___________,可把看做是相对于的一个“增量”，可用代替，类似有__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
二、新课导学
学习探究
探究任务一：
问题1：
气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：
高台跳水，求平均速度
新知：
平均变化率：
试试：
设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即=或者=，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即=；如果它们的比值，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.
反思：
所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.
典型例题
例1过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
变式：
已知函数的图象上一点及邻近一点，则=
例2已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]
沈丘三高高二数学导学案
编写人：
周方审稿人：
高二数学组
§3.1.2导数的概念
【使用课时】：
1课时
【学习目标】：
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；
2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【学习重点】：
导数概念的形成，导数内涵的理解
【学习方法】：
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】：
一、课前准备
（预习教材P74~P76，找出疑惑之处）
复习1：
气球的体积V与半径之间的关系是，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.
复习2：
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：
.求在这段时间里，运动员的平均速度.
二、新课导学
学习探究
探究任务一：
瞬时速度
问题1：
我们把物体在某一时刻的速度称为________.一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________
时，在这段时间内
时，在这段时间内
探究任务二：
导数
问题2：
瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
得导数的定义：
函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即
注意：
（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
（2）在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
（3）是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率
（4）导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
小结：
由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.
典型例题
例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时，原油的温度（单位：
）为.计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
总结：
函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.
例2已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动（位移单位：
cm，时间单位：
s），
（1）当t=2，Δt=0.01时，求.
（2）当t=2，Δt=0.001时，求.
（3）求质点M在t=2时的瞬时速度
小结：
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量；
第二步：
求平均变化率；
第三步：
取极限得导数.
沈丘三高高二数学导学案
编写人：
楚士东审稿人：
高二数学组
§3.1.3导数的几何意义
【使用课时】：
1课时
【学习目标】：
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.
【学习重点】：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
【学习方法】：
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】：
一、课前准备
（预习教材P76~P79，找出疑惑之处）
1.曲线的切线及切线的斜率
（1）如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为.
（2）割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,
无限趋近于切线的斜率,即==
2.导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即=.
二、新课导学
学习探究
探究任务：
导数的几何意义
1.曲线的切线及切线的斜率
图3.1-2
（1）如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？
（2）如何定义曲线在点处的切线？
（3）割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
（4）切线的斜率为多少？
说明:
（1）当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:
1）与该点的位置有关;
2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3）曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
2.导数的几何意义
（1）函数在处的导数的几何意义是什么？
（2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？
3.导函数
（1）由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
注:
在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
（2）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系是什么？
区别：
联系：
典型例题
例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.
例2如图,它表示人体血管中药物浓度（单位:
）随时间（单位:
min）变化的函数图象.根据图象,估计=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）
当堂检测
1.求双曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
2.求在点处的导数.
※知识拓展
导数的物理意义：
如果把函数看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量表示时间），那么导数表示运动物体在时刻的速度，，即在的瞬时速度.即
而运动物体的速度对时间的导数，即称为物体运动时的瞬时加速度.
学习小结
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=，其切线方程为
三、课后练习与提高
1.已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（）
A.4B.16C.8D.2
3.在可导，则（）
A．与、都有关B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关D．与、都无关
4.若函数在处的导数存在，则它所对应的曲线在点的切线方程为
5.已知函数在处的导数为11，则
=
沈丘三高高二数学导学案
编写人：
楚志勇审稿人：
高二数学组
§3.2.1几个常用函数导数
【使用课时】：
1课时
【学习目标】：
1.握四个公式，理解公式的证明过程；
2.学会利用公式，求一些函数的导数；
3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题
【学习重点】：
四种常见函数、、、的导数公式及应用
【学习方法】：
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】：
一、课前准备
（预习教材P81~P82，找出疑惑之处）
复习1：
导数的几何意义是：
曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
复习2：
求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝=
二、新课导学
学习探究
探究任务一：
1．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.
2．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.
[来源:
学科网ZXXK
3．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.
4．利用导数定义求函数的导数.
5．利用导数定义求函数的导数.
6．你能从一般角度推广函数的导数吗？
探究任务二：
在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？
哪一个增加得最慢？
（3）函数增（减）的快慢与什么有关？
典型例题
例画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程
变式1：
求出曲线在点处的切线方程.
变式2：
求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程.
小结：
利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.
当堂检测
练1.求曲线的斜率等于4的切线方程.
练2.求函数的导数
学习小结
1.利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：
，，.
2.利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.
沈丘三高高二数学导学案
编写人：
周方审稿人：
高二数学组
§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【使用课时】：
1课时
【学习目标】：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
【学习重点】：
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
【学习方法】：
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】：
一、课前准备
（预习教材P83~P84，找出疑惑之处）
1．基本初等函数的导数公式表
函数
导数
2.导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于：
）
二、新课导学
学习探究（完成课前准备）
典型例题
例1：
假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：
元）与时间（单位：
年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
分析：
商品的价格上涨的速度就是：
变式训练1：
如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：
元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）
（2）
分析：
净化费用的瞬时变化率就是：
比较上述运算结果，你有什么发现？
当堂检测
1求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）（4）
2.求下列函数的导数
（1）
（2）
学习小结
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.
※知识拓展
1．复合函数的导数：
设函数在点x处有导数，函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且
2．复合函数求导的基本步骤是：
分解——求导——相乘——回代．
三、课后练习与提高
1.函数的导数是（）
A．B．C．D．
2.函数的导数是（）
A．B．
C．D．
3.的导数是（）
A．B．C．D．
4．已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为：
AB
CD
5．函数的图像与直线相切，则
ABCD1
6.设函数在点（1,1）处的切线与轴的交点横坐标为，则
ABCD1
7.曲线在点（0,1）处的切线方程为-------------------
8.函数，且，则=
9.曲线在点处的切线方程为
10.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2，则P点的坐标为
11.已知函数的图像过点P（0,2），且在点处的切线方程为，求函数的解析式.
12.已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数在点处的切线方程.
沈丘三高高二数学导学案
编写人：
楚士东审稿人：
高二数学组
§3.3.1函数的单调性与导数
【使用课时】：
1课时
【学习目标】：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【学习重点】：
利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.
【学习方法】：
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】：
一、课前准备
（预习教材P89~P93，找出疑惑之处）
复习1：
以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝，那么函数f（x）就是区间I上的函数.
复习2：
；；；；；；；；
二、新课导学
学习探究
探究任务一：
函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：
我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：
y=f（x）=x2－4x+3
切线的斜率
f′（x）
（2，+∞）
（－∞，2）
在区间（2，）内，切线的斜率为，函数的值随着x的增大而，即时，函数在区间（2，）内为函数；
在区间（，2）内，切线的斜率为，函数的值随着x的增大而，即0时，函数在区间（，2）内为函数.
新知：
一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的减函数.
试试：
判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）；
（2）；
（3）；（4）.
反思：
用导数求函数单调区间的三个步骤：
①求函数f（x）的导数.
②令解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令解不等式，得x的范围就是递减区间.
探究任务二：
如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？
典型例题
例1已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，.试画出函数图象的大致形状.
变式：
函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.
例2如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.
当堂检测
.求证：
函数在内是减函数.
学习小结
用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f（x）的定义域；
②求函数f（x）的导数.
③令，求出全部驻点；
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内的符号，由此确定的单调区间
注意：
列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
沈丘三高高二数学导学案
编写人：
楚志勇审稿人：
高二数学组
§3.3.2函数的极值与导数
【使用课时】：
1课时
【学习目标】：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
【学习重点】：
利用导数求函数的极值
【学习方法】：
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】：
一、课前准备
（预习教材P93~P96，找出疑惑之处）
复习1：
设函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数y=f（x）在这个区间内为函数；如果在这个区间内，那么函数y=f（x）在为这个区间内的函数.
复习2：
用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f（x）的导数.②令解不等式，得x的范围就是递增区间.③令解不等式，得x的范围，就是递减区间.
二、新课导学
学习探究
探究任务一：
问题1：
如下图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
在这些点的导数值是多少？
在这些点附近，的导数的符号有什么规律？
看出，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都，；且在点附近的左侧0，右侧0.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都，；而且在点附近的左侧0，右侧0.
新知：
我们把点a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的，
刻画的是函数的.
试试：
（1）函数的极值（填是，不是）唯一的.
（2）一个函数的极大值是否一定大于极小值.
（3）函数的极值点一定出现在区间的（内，外）部，区间的端点（能，不能）成为极值点.
反思：
极值点与导数为0的点的关系：
导数为0的点是否一定是极值点.比如：
函数在x=0处的导数为，但它（是或不是）极值点.
即：
导数为0是点为极值点的条件.
典型例题
例1求函数的极值.
变式1：
已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求
（1）的值
（2）a，b，c的值.
x
o
1
2
y
小结：
求可导函数f（x）的极值的步骤:
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）求方程f′（x）=0的根
（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.
变式2：
已知函数.
（1）写出函数的递减区间；
（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.
升级会员 