B.≤a≤
C．a>或a<
D．a≥或a≤
[答案] B
[解析] |x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1
由题意知（a－1，a＋1）则有，且等号不同时成立解得≤a≤，故选B.
5．设集合U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）|2x－y＋m>0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，那么点P（2,3）∈A∩（∁UB）的充要条件是（ ）
A．m>－1，n<5
B．m<－1，n<5
C．m>－1，n>5
D．m<－1，n>5
[答案] A
[解析] ∵P∈A∩∁UB，
∴P∈A且P∉B，
∴，
∴，故选A.
6．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
[答案] C
7．已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 点Pn（n，an）在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.
8．（2010·福建文，8）若向量a＝（x,3）（x∈R），则“x＝4”是“|a|＝5”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．
当x＝4时，|a|＝＝5
当|a|＝＝5时，解得x＝±4.
所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．
9．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（ ）
A．都真
B．都假
C．否命题真
D．逆否命题真
[答案] D
[解析] 若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，又x∈R，则必存在x，使ax2＋bx＋c<0.
故原命题真，其逆否命题也为真，其逆命题为“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下．”
当a＝0时，显然为假命题，则其否命题也为假，故选D.
10．（09·宁夏海南理）有四个关于三角函数的命题：
p1：
∃x∈R，sin2＋cos2＝
p2：
∃x、y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny
p3：
∀x∈[0，π]，＝sinx
p4：
sinx＝cosy⇒x＋y＝
其中假命题的是（ ）
A．p1，p4
B．p2，p4
C．p1，p3
D．p3，p4
[答案] A
[解析] p1是假命题，∵∀x∈R，sin2＋cos2＝1；p2是真命题，例如：
当x＝y＝时，
sin（x－y）＝sinx－siny＝0.
p3是真命题，
∵∀x∈[0，π]，sinx>0，
∴＝|sinx|＝sinx.
p4是假命题，例如：
sin＝cosx＋y＝.
11．“θ＝”是“tanθ＝2cos”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 解法一：
∵θ＝为方程tanθ＝2cos的解，
∴θ＝是tanθ＝2cos成立的充分条件；
又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos的解，
∴θ＝不是tanθ＝2cos的必要条件，故选A.
解法二：
∵tanθ＝2cos，
∴sinθ＝0或cosθ＝－，
∴方程tanθ＝2cos的解集为
A＝，
显然A，故选A.
12．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）
A．已知c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．已知b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a
C．已知b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．已知b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
[答案] C
[解析] A的逆命题是：
c⊥α，若α∥β，则c⊥β，真命题；B的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）
13．设有两个命题：
p：
|x|＋|x－1|≥m的解集为R；q：
函数f（x）＝－（7－3m）x是减函数，若这两个命题中有且只有一个真命题，实数m的取值范围是________．
[答案] 1[解析] 若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.
若q为真命题，则7－3m>1，所以m<2，若p真q假，则m∈∅.
若p假q真，则1综上所述，114．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f（x）＝3＋log2x的图象与g（x）的图象关于________对称，则函数g（x）＝________.（注：
填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）．
[答案] 可以填以下几种情形之一：
①x轴，－3－log2x
②y轴，3＋log2（－x）
③原点，－3－log2（－x）
④直线y＝x,2x－3
15．已知p：
a＋b≠5，q：
a≠2或b≠3，则p是q的________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 命题：
“如果a＋b≠5，则a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，则a＋b＝5”，显然是真命题．
∴p⇒q即有：
p是q的充分条件．
同理：
p不是q的必要条件．
∴p是q的充分条件，但不是必要条件．
16．（2010·四川文，16）设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S＝{a＋b.a，b为整数}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中的真命题是________．（写出所有真命题的序号）
[答案] ①②
[解析] 本题考查根据所给信息解决实际问题的能力，要注意从基本概念，基本公式着手，理解题目中给出的信息是什么．
对于①②都正确，对于③，封闭集不一定是无限集，例如当S＝{0}时，S是有限集，对于④不正确，例如当S＝{0}，M是自然数集N时，M不是封闭集．
三、解答题（本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）将下列命题改写为“若p，则q”的形式．并判断真假．
（1）偶数能被2整除；
（2）奇函数的图象关于原点对称；
（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．
[解析]
（1）若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．
（2）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．
（3）在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．
18．（本题满分12分）“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若p则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假．
[解析] “若p则q”形式：
“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”
逆命题：
“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假．
否命题：
“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假．
逆否命题：
“若一个四边形的对角线不垂直，则它不是菱形”，真．
19．（本小题满分12分）已知命题p：
lg（x2－2x－2）≥0；命题q：
|1－|<1.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．
[解析] 由lg（x2－2x－2）≥0得x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，
即（x－3）（x＋1）≥0，
∴x≥3或x≤－1.
由|1－|<1，－1<1－<1
∴0∵命题q为假，
∴x≤0或x≥4，
则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4}
＝{x|x≤－1或x≥4}，
∴满足条件的实数x的取值范围为（－∞，－1]∪[4，＋∞）．
20．（本小题满分12分）已知p：
x2－8x－20>0，q：
x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] p：
A＝{x|x<－2或x>10}，q：
b＝{x|x<1－a或x>1＋a，a>0}如图
依题意，p⇒q，但q⇒/p，说明AB，则有
且等号不同时成立，解得0∴实数a的取值范围是021．（本小题满分12分）求使函数f（x）＝（a2＋4a－5）x2－4（a－1）x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件．
[解析] 要使函数f（x）的图象全在x轴上方的充要条件是：
或
解得1所以使函数f（x）的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19.
22．（本小题满分14分）证明二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的两个零点在点（m,0）的两侧的充要条件是af（m）<0.
[解析] 充分性：
设Δ＝b2－4ac≤0则af（x）＝a2x2＋abx＋ac＝a2（x＋）2－＋ac＝a2（x＋）2－（b2－4ac）≥0，
所以af（m）≥0，这与af（m）<0矛盾，即b2－4ac>0.
故二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有两个不等的零点，设为x1，x2，且x1af（m）＝a2（m－x1）（m－x2）<0，所以x1必要性：
设x1，x2是方程的两个零点，且x因为f（x）＝a（x－x1）（x－x2），且x1∴af（m）＝a2（m－x1）（m－x2）<0，即af（m）<0.
综上所述，二次函数f（x）的两个零点在点（m,0）的两侧的充要条件是af（m）<0.
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