中山市高二级2016-2017学年度第二学期期末统一考试理科数学.doc
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中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试
高二数学试卷（理科）
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若复数满足，则
A．B．C．D．
2．设随机变量X～B（8，p），且D（X）＝1.28，则概率p的值是
A．0.2B．0.8C．0.2或0.8D．0.16
3．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
使用智能手机
不使用智能手机
总计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
总计
20
10
30
附表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是（ ）
A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响
D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响
4.用反证法证明：
若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是
A．假设都是偶数；B．假设都不是偶数
C．假设至多有一个偶数D．假设至多有两个偶数
5．函数的单调递减区间是
A.B.
C.，D.
6．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为
A. B．4C．－1D．1
7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（ ）
A.B.C.D.
8．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布
N（－1,1）的部分密度曲线）的点的个数的估计值为
附：
若X～N（μ，σ2），则P（μ－σA．1193B．1359C．2718D．3413
9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A.产品的生产能耗与产量呈正相关
B．t的值是3.15
C．回归直线一定过（4.5,3.5）
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
10.将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是
A.150B.210C.240D.300
11.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：
0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：
，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为
A．1200 B．1280 C．3528 D．3612
12．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是
A．B．
C.D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）
13.直线是曲线的一条切线，则实数的值为
14.
15.已知,则的值等于.
16.已知函数，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
在的展开式中，求：
（1）第3项的二项式系数及系数；
（2）含的项．
18．（本小题满分12分）
设正项数列的前项和为，且，
（1）求，并猜想数列的通项公式
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
19.（本小题满分12分）
为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度
20
22
24
26
28
30
32
产卵数个
6
10
21
24
64
113
322
400
484
576
676
784
900
1024
1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77
26
692
80
3.57
1157.54
0.43
0.32
0.00012
其中，，，，
附：
对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，．
（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：
）
（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
20.（本小题满分12分）
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：
应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：
至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
21.（本小题满分12分）
对于命题：
存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.
（1）试给出这个常数的值；
（2）在
（1）所得结论的条件下证明命题；
（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：
“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．
22.（本小题满分12分）
已知函数存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：
．
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试
高二数学试卷（理科）答案
一、选择题：
CCABAABBBADA
二、填空题：
13．；15．；15．；16．.
三、解答题：
17.解
（1）第3项的二项式系数为，…………………………………2分
又，所以第3项的系数为240.……………5分
（2），
令，得.所以含的项为第2项，且………10分
18.解
（1）当时，，∴或（舍,）.………1分
当时，，∴．………2分
当时，，∴．………3分
猜想：
.………4分
（2）证明：
①当时，显然成立．………5分
②假设时，成立，
则当时，,
即
∴.………11分
由①、②可知，，.………12分
19.解：
（1）对于模型①：
设，则
其中，………………………1分
……………………3分
所以，…………………4分
当时，估计产卵数为……5分
对于模型②：
设，则
其中，…………………………………6分
………………………8分
所以，…………………………………9分
当时，估计产卵数为…………10分
（2）因为，所以模型②的拟合效果更好…………………………………12分
20.解：
（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3……………1分
；；；…………4分
应聘者甲正确完成题数的分布列为
1
2
3
………………………………………5分
设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3……………………………6分
，
……………………………9分
应聘者乙正确完成题数的分布列为：
0
1
2
3
.
（或∵∴）…………10分
（2）因为，
所以……………………………………………11分
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；
从做对题数的方差考查，甲较稳定；
从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大………………12分
21.解：
（1）令得：
，故；……3分
（2）先证明.
∵，，要证上式，只要证，
即证即证，这显然成立.
∴.……6分
再证明.
∵，，要证上式，只要证，
即证即证，这显然成立.
∴.……9分
（3）猜想结论：
存在一个常数，使得不等式
对任意正数，，，恒成立.……12分
22.解：
（Ⅰ）由题设函数的定义域为，，………1分
故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．
当a=0时，显然只有1个零点． ………………………2分
当a≠0时，令，那么．
若a<0，则当x>0时，即单调递增，所以无两个零点.…3分
若a>0，则当时，单调递增；当时，单调递减，所以.又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．………………………………………5分
综上得，实数a的取值范围是．………………………………………6分
（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得． ………7分
由得，得.
所以原命题等价于证明． …………8分
因为，故只需证，即．……9分
令，则，设，只需证．…10分
而，故在单调递增，所以．
综上得．………………………………………………………………12分
高二数学（理科）试卷第11页（共4页）
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