不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析应用及参考答案.doc

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不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

一、不等式恒成立问题的处理方法

1、转换求函数的最值：

（1）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上，的下界大于A

（2）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上,的上界小于A

例1、设f（x）=x2-2ax+2,当x[-1,+]时，都有f（x）a恒成立，求a的取值范围。

例2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;

例3、R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.

例4、已知函数在处取得极值，其中、为常数.

（1）试确定、的值；

（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

2、主参换位法

例5、若不等式对恒成立，求实数a的取值范围

例6、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围

例7、已知函数，其中为实数．若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．

3、分离参数法

（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；

（2）求在上的最大（或最小）值；

（3）解不等式（或），得的取值范围。

适用题型：

（1）参数与变量能分离；

（2）函数的最值易求出。

例8、当时，不等式恒成立，则的取值范围是.

例9、已知函数,其中

（1）当满足什么条件时,取得极值?

（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

4、数形结合

例10、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________

例11、当x（1,2）时，不等式<恒成立，求a的取值范围。

二、不等式能成立问题的处理方法

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.

例12、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______

例13、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．

例14、已知函数（）存在单调递减区间，求的取值范围

三、不等式恰好成立问题的处理方法

例15、不等式的解集为则___________

例16、已知当的值域是,试求实数的值.

例17、已知两函数f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，其中k为实数。

（1）对任意x[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；

（2）存在x[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；

（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2），求k的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习

1、若不等式对任意实数x恒成立，求实数m取值范围

2、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围

3、设函数．对于任意实数，恒成立，求的最大值。

4、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。

5、已知不等式恒成立。

求实数的取值范围。

6、对任意的，函数的值总是正数，求x的取值范围

7、若不等式在内恒成立，则实数m的取值范围。

8、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。

9、不等式有解，求的取值范围。

10、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是M；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为N，求集合．

11、①对一切实数x,不等式恒成立，求实数a的范围。

②若不等式有解，求实数a的范围。

③若方程有解，求实数a的范围。

12、①若x,y满足方程，不等式恒成立，求实数c的范围。

②若x,y满足方程，，求实数c的范围。

13、设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

14、设函数，其中常数，若当时，恒成立，求的取值范围。

15、已知向量=（，x+1），=（1-x，t）。

若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案

例1、解：

a的取值范围为[-3，1]

t

g（t）

o

·

1

图1

t=m

例2、解：

等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.

由于在上为增函数,

则,所以

例3、解：

由得到：

因为为奇函数，

故有恒成立，

t

g（t）

o

·

1

图2

t=m

又因为为R减函数，从而有对恒成立

设，则对于恒成立，

在设函数,对称轴为.

t

g（t）

o

·

1

图3

t=m

①当时，，

即，又∴（如图1）

②当，即时,

即,

∴,又,∴（如图2）

③当时，恒成立.∴（如图3）

故由①②③可知：

.

例4、解：

（1）

（2）略（3）由

（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，

从而.解得或.的取值范围为.

例5、解：

例6、解：

例7、解析：

由题设知“对都成立，即对都成立。

设（），

则是一个以为自变量的一次函数。

恒成立，则对，为上的单调递增函数。

所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。

例8、解析:

当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.

例9、解析：

（1）

（2）在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。

设，，

令得或（舍去），

当时,，当时，单调增函数；

当时，单调减函数,

。

。

当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，，。

O

综上，当时,；当时，。

例10、解析：

对,不等式恒成立

则由一次函数性质及图像知，即。

例11、解：

1

例12、解：

例13、第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,

即解得或

例14、解：

，则

因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是,

而在上有解,就等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中.

由得,.于是,,

由题设,所以a的取值范围是

例15、解：

6

例16、解：

是一个恰成立问题,这相当于的解集是.

当时,由于时,,与其值域是矛盾,

当时,是上的增函数,所以,的最小值为,令,即

例17、解析：

（1）设h（x）=g（x）-f（x）=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h（x）≥0恒成立，故h（x）≥0.令h′（x）=6x2-6x-12=0，得x=-1或2。

由h（-1）=7+k，h

（2）=-20+k，h（-3）=k-45，h（3）=k-9，故h（x）=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.

（2）据题意：

存在x[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，即为：

h（x）=g（x）-f（x）≥0在x[-3，3]有解，故h（x）≥0，由

（1）知h（x）=k+7，于是得k≥-7。

（3）它与

（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：

，由g′（x）=6x2+10x+4=0，得x=-或-1，易得，又f（x）=8（x+1）2-8-k，.故令120-k≤-21，得k≥141。

专项练习：

1、解：

2、解：

3、解析：

对,,即在上恒成立,,得，即的最大值为。

4、解：

不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0,设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1,则f（p）在[-2,2]上恒大于0，故有：

x

y

0

3

即解得：

∴x<-1或x>3.

5、解：

6、解：

7、解：

8、解：

画出两个凼数和在

上的图象如图知当时，

当时总有所以

9、解：

不等式有解有解有解，所以。

10、解：

由又有解，

所以．令恒成立．所以

11、解：

①②③12、解：

①②

13、解：

由条件可知

，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，

即，即在上恒成立．即，

所以，因此满足条件的的取值范围是．

14、解：

（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。

；

则由题意得即解得。

15、解：

依定义。

则，

若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。

·

o

x

·

1

·

-1

y

·

g（x）

∴在（-1，1）上恒成立。

考虑函数，（如图）

由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，

故要使在（-1，1）上恒成立，即。

而当时，在（-1，1）上满足>0，

即在（-1，1）上是增函数。

故t的取值范围是.