不等式恒成立问题及能成立问题.docx
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例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略
——谈2008年江苏高考数学试卷第14题
摘要：
所有问题均可分成三类：
恒成立问题、能成立问题和不成立问题。
《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。
关键词：
分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。
2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：
设函数若对于任意都有成立，则实数的值为。
解析如下：
析：
将中的分离，然后求函数的最值。
解：
函数若对于任意都有成立，函数对于任意有都成立。
若，，设则
，令，则
单调递减，，
（1）
若，，设，则
，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，，
（2）
若则，成立（3）
由题意知
（1）
（2）（3）应同时成立
解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略:
1、若f（x）≥a对x∈D恒成立，只须f（x）min（x∈D）≥a即可。
2、若f（x）≤a对x∈D恒成立，只须f（x）max（x∈D）≤a即可。
该题在考查学生基础知识的同时，注意考查了考生的分类讨论的思想、换元的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。
2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目，解析如下
已知函数f（x）=,x∈.
（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意的x∈，恒成立，试求a的取值范围。
析：
由于x∈，化繁为简。
解：
（1）当时，，在区间[上为增函数，在区间[上的最小值为
（2）在区间[上，恒成立恒成立，设，递增，∴当时，，于是当且仅当时，函数恒成立，故
本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。
通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：
解不等式恒成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略进行求解。
等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关键。
下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。
一、直接法
例1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是．
析：
本题可利用不等式求最值
解：
，而对恒成立，则，解得
例2．若不等式≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为。
析：
本题可转化为求二次函数的最值
解：
令，则
所以，因不等式≥0在[1，2]上恒成立
所以，即
例3．已知函数，．
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
析：
，且
解：
（1）．
又，，即，．
（2），，且，
，即的取值范围是．
二、分离参数法
例4．关于的不等式在上恒成立，则实数的范围为．
析：
含参问题的考察始终是高考的热点，要善于对问题先观察思考后动手，避免不必要的麻烦。
解析一：
两边同除以，则，，，
当且仅当，两等式同时成立，所以时，右边取最小值6，．
解析二：
（提示）可分和讨论．求分段函数的最小值．答案：
．
例5．若a,b均为正实数，且恒成立，则m的最小值是
析：
参数分离，然后求的最值，最后
采取不等式恒成立问题的处理策略求m的最小值
解：
因a,b均为正实数，，根据基本不等式
得
恒成立，则m的最小值是
三、等价转化法
例6．已知函数
若在上单调递增，求的取值范围；
析：
本题的实质由在上恒成立，求的取值范围。
解：
由，得
若函数为上单调增函数，则在上恒成立
即不等式在上恒成立.也即在上恒成立
令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求
例7．已知函数
若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
析：
本题可利用是偶函数．将问题等价转化为：
已知对任意成立，确定实数的取值范围．
解：
由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
例8．已知P：
2x2-9x+a<0,q：
且p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
析：
BA，即A中的不等式对于B中的恒成立
解：
由q：
得q:
2设A=｛︱p｝=｛︱2x2-9x+a<0｝，B=｛︱q｝=｛︱2pq,∴qp∴BA即2∴2∵当29<9x-2x2≤∴a≤9
评：
以上三例均是将它们转化为不等式恒成立问题。
等价转化就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这将有利于强化解决数学问题的应变能力，提高思维能力和解决数学问题的技能、技巧。
四、数形结合法
根据恒成立不等式的特点，通过挖掘几何图形含意，利用函数图象的高低位置关系找出参数的变化范围.
例9．不等式ax≤在x∈[0,3]内恒成立，求a的变化范围.
解：
画出两个函数y=ax与y=的图象.（如图）
将x=3代入ax=,得a=
∴a∈
例10．若对一切都成立，则k的取值范围是________
析：
构造两个函数，半圆应全在直线的下方，，其中直线过点（0，1）斜率为2，直线与相切斜率为，画图易得：
评：
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：
“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离”。
五、“能成立”与“恒成立”的问题
“能成立”与“恒成立”的问题分属于“存在性命题”和“全称命题”的范畴，应区别对待。
例11．若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．
析：
“关于的不等式的解集不是空集，等价于有解，则”与“关于的不等式的解集是，等价于恒成立，则”不同，应加以体会。
解：
设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,
即解得或
评：
不等式能成立问题的处理策略:
1、若f（x）≥a对x∈D能成立，只须f（x）max（x∈D）≥a即可。
2、若f（x）≤a对x∈D能成立，只须f（x）min（x∈D）≤a即可
例12．若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+（a－2）x－2＞0成立，则实数x的取值范围是.
析：
一方面要进行主次元的转换，把不等式ax2+（a－2）x－2＞0看成关于的不等式，另一方面利用不等式能成立的条件求实数x的取值范围。
解：
令可看成关于的一元一次函数，
存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+（a－2）x－2＞0成立的条件为
只须，，
即，则
综上所述：
不等式恒成立问题的处理策略是：
1、若f（x）≥a对x∈D恒成立，只须f（x）min（x∈D）≥a即可。
2、若f（x）≤a对x∈D恒成立，只须f（x）max（x∈D）≤a即可。
不等式能成立问题的处理策略是
1、若f（x）≥a对x∈D能成立，只须f（x）max（x∈D）≥a即可。
2、若f（x）≤a对x∈D能成立，只须f（x）min（x∈D）≤a即可。
解题的关键是求函数最值，方法有直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等。
复习数学过程中，要充分挖掘数学教材的教育因素，把教学中的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等基本的“元”思想提高到自觉运用的层面。
关注解题的严密性、规范性、完整性，着眼于解题的通性通法，提高学生的数学素养，这就是2008年江苏高考数学试题给我们的有益启示。
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