导数与数列02.docx

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导数与数列02

数列与函数导数结合证明不等式问题，是近年来高考考查的热点问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．

特别注意：

由函数向数列过渡时，要分析所求数列的结构特点，特别是数列的“长式”通项的特点。

一、常用的结论

（一）常用的数列求和公式

1．2．

3．

（二）常用的方法

1．列项相消法

若一个数列的通项为，则，若题目出现了时，可考虑此法。

2．放缩法与裂项法

（1）缩：

；

。

（2）放：

当n≥2时，；

当n≥2时，。

3．逐商法

若一个数列的通项为，则，若题目出现了时，可考虑此法。

4．逐差法

若一个数列的通项为，则

，若题目出现了时，可考虑此法。

（三）常用的不等式：

（1）lnx≤x-1，（x＞0）

（2）ln（x+1）≤x，（x＞0）

（3）ex≥x+1，

（4）e-x≥x+1，

（5）sinx＜x＜tanx，。

公式lnx≤x-1，（x＞0）的应用：

当n≥2，n∈N*时，lnn≤n-1，两边同除以n，得：

∴（n≥2，n∈N*）。

即。

二、典型例题

1.（2016•商丘三模）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f

（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数（和“总存在极值”一个意思），求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：

（n≥2，n∈N*）．

解：

（Ⅰ）（x＞0），

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；

当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）

（Ⅱ）由题意知：

，得a=-2，∴f（x）=-2lnx+2x-3，，

∴，

∴g′（x）=3x2+（m+4）x-2，

∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，∴，

∵对于任意的t∈[1，2]，g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，

∴对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，

所以有：

，即，解得−＜m＜−9，

∴m的取值范围是−＜m＜−9。

（Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，所以f

（1）=-4，

由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，

∴当x∈（1，+∞）时f（x）＜f

（1），即lnx-x-3＜-4，

∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，

∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，∴，

∴（n≥2，n∈N*）。

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