高中数学(函数和导数)综合练习含解析.doc
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高中数学（函数和导数）综合练习含解析
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、选择题（题型注释）
1．已知函数．
（1）当时，求证：
，均有
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
2．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（）
A．B．C．D．
3．函数在内有最小值，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
4．在函数的图象上有点列，若数列是等差数列，数列是等比数列，则函数的解析式可能为（）
A．
B．
C．
D．
5．设是上的单调递减函数；：
函数的值域为．如果“且”为假命题，“或”为真命题，则正实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．如果函数y的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围
是（）
A．∪B．C．D．
7．设函数，若,则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．函数，当时，恒成立，则实数的
取值范围是（）
A．B．C．D．
9．曲线在点处的切线方程为（）
A．B．C．D．
10．设，若，则（）
A．B．C．D．
二、填空题（题型注释）
11．函数在处有极值10，则．
12．设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数．
13．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．
14．设，若，则．
15．已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式
的解集是．
16．已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是.
三、解答题（题型注释）
17．已知函数，其中a∈R
（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的单调区间与极值．
18．设函数
（1）求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）在第二问的基础上，若方程，（）有两个不相等的实数根，求证：
．
19．已知函数，
（1）若的一个极值点为1，求a的值；
（2）设在上的最大值为，当时，恒成立，求a的取值范围．
20．已知c>0，设命题p：
函数为减函数，命题q：
当时，函数恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．
21．如果一元二次方程至少有一个负的实数根，试确定这个结论成立的充要条件．
22．已知c>0，设命题p：
函数为减函数，命题q：
当时，函数恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．
23．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．
用煤（吨）
用电（千瓦）
产值（万元）
甲产品
7
20
8
乙产品
3
50
12
但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产量最大？
最大日产量为多少？
24．已知函数（为常数），其图象是曲线．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；
（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：
是否存在常数，使得？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
25．已知函数f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
26．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间和极值．
27．已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；
（3）证明：
.
28．已知函数，（为常数）.
（1）若在处的切线过点（0，-5），求的值；
（2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；
（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围.
29．已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为-4.
（1）求实数的值；
（2）设，函数.若对任意，总存在，使，求实数的取值范围.
30．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求过点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若在（0,1）上恒成立，求实数的取值范围.
试卷第5页，总5页
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参考答案
1．
（1）1；
（2）
【解析】
试题分析：
（1）对进行求导得到其导函数，因为的一个极值点为1，所以，代入即可求出的值；
（2）对进行求导得到其导函数，判断出其在上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值；代入，分离参数，构造一个新函数，只需小于等于其最小值即可．
试题解析：
（1）a＝1时，f（x）＝x2－x－lnx，
在（1，＋∞）上是增函数，
，
所以在（1，＋∞）上是减函数，
当时，，均有
（2）由由x∈[1，＋∞）知，x＋lnx＞0，
所以f（x）≥0恒成立等价于a≤在时恒成立，
令h（x）＝，，有h′（x）＝
单调递增
所以h（x）≥h
（1）＝1，所以a≤1．
考点：
利用导数研究函数的极值和最值
2．D
【解析】
试题分析：
设，是定义在上的奇函数，是定义在的偶函数，当时，，此时函数单调递增．，，，又故选D．
考点：
利用导数研究函数的单调性
【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中无解析式，所以我们无法采用作差法、作商法和中间量法，只能采用单调性法，经观察得需要进行构造函数，研究构造的函数的单调性，再利用函数的奇偶性进行转化到同一侧，即可判断出所给几个值的．
3．C
【解析】
试题分析：
由题可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，又在内有最小值，所以只需，即，故选C．
考点：
函数的最小值
4．D
【解析】
试题分析：
对于函数上的点列有，由于是等数列差，所以因此，这是一个与无关的常数，故是等比数列，所以合题意，故选D．
考点：
1、等差数列的定义；2、等比数列的定义；3、指数函数．
【易错点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题．解决该问题应该注意的事项：
（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．本题构造出指数函数巧妙地将等差数列、等比数列结合起来．
5．A
【解析】
试题分析：
本题考查命题真假的判定与推理，若命题为真命题，则若命题为真命题，则且即由条件得：
真假或假真，故正实数的取值范围是故选A．
考点：
1、函数的单调性、值域；2、命题与逻辑联接词．
6．A
【解析】
试题分析：
根据题意画出函数与曲线的图象，如图所示，当与圆相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过作，因为，，所以，此时，当圆半径大于，即时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数的取值范围是，故选A．
考点：
1、含绝对值的函数；2、圆的几何性质；3、数形结合．
7．D
【解析】
试题分析：
由题若即当时，此时即为结合即，可知此时；当时，此时即为结合即，取交集即为，
综上实数的取值范围是
考点：
分段函数，对数函数的性质
【名师点睛】本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题．解释由已知条件得到仍为分段函数，讨论和两种情况，化简不等式，解之即可．注意每一种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集．
8．D
【解析】
试题分析：
由导函数可知是单调递增奇函数，所以在解不等式时要充分利用这一条件．，又函数为奇函数，所以，即，又因为函数在上为单调递增的函数，所以必有，当时，对任意的不等式恒成立，当时，有，当时，，所以，综上所述，的取值范围是，故正确选项为D．
考点：
利用函数的单调性，奇偶性解不等式．
【思路点睛】本题主要考查利用导函数来判断函数的单调性，以及解有关复合函数的不等式．在解有关函数的不等式时，如果函数是高次的复合函数，则需要先利用导函数判断外函数在定义域上的单调性，将不等式转化为关于内函数的不等式，继续解不等式，从而求出参数的范围，在解不等式，要充分利用题中已知的函数性质．
9．A
【解析】
试题分析：
求曲线某点的切线，需要先求得该点的导数，的导函数为，则曲线在点处的切线斜率为，利用点斜式可求得切线的方程为，故正确选项为A．
考点：
导数的运用．
10．B
【解析】
试题分析：
先求的导函数，可知，，即，可求得，故正确选项为B．
考点：
导数的计算．
11．7
【解析】
试题分析：
对原函数求导可得，
由题得，当时，
，此时不是极值点，不合题意，经检验符合题意，所以
考点：
函数的极值
12．2
【解析】
试题分析：
根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数则为定值，设，则，又，可得，故，，又是方程的一个解，所以是的零点，分析易得，所以函数的零点介于之间，故
考点：
导数运算
【思路点睛】由题意可得为定值，设为，代入即可得到的值，从而可得函数的解析式，代入化简新构造函数，根据零点存在性定理即可得到零点所在范围，从而求出所得答案．此类题目一般都需要进行整体换元来做，进而可以求出函数的解析式，然后根据题意即可得到所求答案．
13．
【解析】
试题分析：
联立方程得到两曲线的交点，因此曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．
考点：
定积分在求面积中的应用
14．
【解析】
试题分析：
考点：
函数的导数
15．
【解析】
试题分析：
仔细观察，会发现条件中的，所以可构造函数，由得在上为增函数，又，所以，则函数在上．在；又，所以在上．在，是定义在R上的奇函数，则在在上．在，而不等式的解集即的解，所以解集为．
考点：
函数的单调性，奇偶性，以及导函数的运用．
【思路点睛】本题的关键在于能够根据构造出一个对解题带来方便的新函数，因为题中只说明是奇函数及一个零点，而解不等式，必须要知道值域在那些区间上为正，那些区间上为负，而通过新构造的函数，结合其单调性及的零点，刚好能解决这一难题．本题同时也考查了学生对公式的逆运用．
16．
【解析】
试题分析：
因为是定义在上的周期为3的函数，当时，.画出函数和在的图像如图所示，
考点：
根的存在性及根的个数判断．
17．
（1）；
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值，极小值为
【解析】
试题分析：
（1）对原函数进行求导得到，令，分离参数得到，只需小于等于即可得到所求答案．
（2）由
（1）和题意可知，即可求出的值，代入导函数，令，得到其零点，列表即可判断出函数的单调性和极值．
试题解析：
（1）对求导得
函数在单调递增，在恒成立
，的取值范围
（2）对求导得，由在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线轴，
可知f′
（1）＝－－a＝0，解得a＝
由
（1）知
则f′（x）＝，
令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝3
1
3
+
—
↗
极大值
↘
极小值
↗
由此知函数在x＝1时取得极大值f
（1）＝-2
在x＝3时取得极小值f（3）＝-1－ln3．
考点：
导数的综合应用
18．
（1）
（2）单调增区间为，单调减区间为（3）证明见解析
【解析】
试题分析：
（1）求出其定义域，对进行求导得到，令导函数等于0可以判断出在其定义域上的单调性，从而判断出其最小值；
（2）由
（1）把代入，对进行求导得到，对进行分类讨论，即可得到的单调性
（3）本题可以采用分析法来进行证明，一步步的往上推导出一个很容易证明或者是公理的式子再进行证明即可得到所求答案．
试题解析：
f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得．
∵当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0
∴当时，．
（2）F′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣（x＞0）．
当a≤0时，F′（x）＞0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，函数F（x）的单调增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，由F′（x）＞0，得x＞；由F′（x）＜0，得0＜x＜．
所以函数F（x）的单调增区间为，单调减区间为．
（3）证明：
因为x1、x2是方程F（x）=m的两个不等实根，由
（1）知a＞0．
不妨设0＜x1＜x2，则﹣（a﹣2）x1﹣alnx1=c，﹣（a﹣2）x2﹣alnx2=c．
两式相减得﹣（a﹣2）x1﹣alnx1﹣+（a﹣2）•x2+alnx2=0，
即+2x1﹣﹣2x2=ax1+alnx1﹣ax2﹣alnx2=a（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）．
所以a=．因为F′=0，
即证明x1+x2＞，
即证明﹣+（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＜+2x1﹣﹣2x2，
即证明ln＜．设t=（0＜t＜1）．
令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=．
因为t＞0，所以g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，所以g（t）在（0，+∞）上是增函数．
又g
（1）=0，所以当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．所以原题得证
考点：
导数的综合应用
19．
（1）1；
（2）
【解析】
试题分析：
（1）对进行求导得到其导函数，因为的一个极值点为1，所以，代入即可求出的值；
（2）对进行求导得到其导函数，判断出其在上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值；代入，分离参数，构造一个新函数，只需小于等于其最小值即可．
试题解析：
（1），令，则a＝1
经检验，当a＝1时，1是的一个极值点
（2），
所以在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减函数
在上恒成立，
由x∈[1，＋∞）知，x＋lnx＞0，
所以f（x）≥0恒成立等价于a≤在x∈[e，＋∞）时恒成立，
令h（x）＝，x∈[1，＋∞），有h′（x）＝
所以h（x）在[1，＋∞）上是增函数，有h（x）≥h
（1）＝1，所以a≤1
考点：
利用导数研究函数的极值和最值
20．．
【解析】
试题分析：
根据题意可求得命题为真命题时，命题为真命题时，，因为或为真命题，且为假命题，所以可得、中必有一真一假，分两种情况求解．
试题解析：
因为函数为减函数，所以
因为，要使不等式恒成立，需，即，q：
，
若或为真命题，且为假命题，则、中必有一真一假，
当真假时，，解得，
当假真时，，解得．
综上可知，的取值范围是．
考点：
1．不等式恒成立问题；2．判断复合命题的真假．
21．或．
【解析】
试题分析：
因为一元二次方程至少有一个负的实数根，包括有一个负的实数根和有两个负的实数根的情况，当有一个负的实数根时，有两个负的实数根．
试题解析：
由题意得，一元二次方程有实数根的充要条件是，即，设方程的根是，由，可知，方程有一个负的实数根，即，方程有两个负的实数根，即，综上所述，一元二次方程至少有一个负实数根的充要条件是或．
考点：
一元二次次根的分布．
22．．
【解析】
试题分析：
根据题意可求得命题为真命题时，命题为真命题时，，因为或为真命题，且为假命题，所以可得、中必有一真一假，分两种情况求解．
试题解析：
因为函数为减函数，所以
因为，要使不等式恒成立，需，即，q：
，
若或为真命题，且为假命题，则、中必有一真一假，
当真假时，，解得，
当假真时，，解得．
综上可知，的取值范围是．
考点：
1．不等式恒成立问题；2．判断复合命题的真假．
23．产甲产品吨，乙产品吨时，日产值吨．
【解析】
试题分析：
设每天生产甲产品吨，乙产品吨，则日产值，由表格可列出线性约束条件，然后可以画出可行域，把变形为一组平行直线系，经过点时，
有最大值．
试题解析：
设该厂每天安排生产甲产品吨，乙产品吨，则日产值，
线性约束条件为．
作出可行域．
由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即取最大值．
解方程组，得交点
．
所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元．
考点：
1、线性规划的应用；2、可行域与最优解．
24．
（1）的单调减区间为．
（2）
（3）当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．
【解析】
试题分析：
（1）先求原函数的导数，根据求得的区间是单调减区间，即可；
（2）由于存在唯一的实数，使得与同时成立，则
即存在唯一的实数根，即存在唯一的实数根，就把问题转化为求函数最值问题；
（3）假设存在常数，依据曲线在点处的切线与曲线交于另一点，曲线在点处的切线，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在．
试题解析：
（1）当时，．令，解得，
的单调减区间为．
（Ⅱ），由题意知消去，得有唯一解．令，则，以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是．
（Ⅲ）设，则点处切线方程为，
与曲线：
联立方程组，得，即，所以点的横坐标．由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数使得，所以，解得．故当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．
考点：
利用导数研究函数的性质
【名师点评】本题考查导数知识的运用，函数的单调性，曲线的切线等知识，属难题．解题时对于方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．
25．（Ⅰ）y=6x-9；（Ⅱ）0＜a＜5．
【解析】
试题分析：
（1）函数在其图象上某点的切线的斜率等于该点处的导数，，则点处的切线斜率为，由点斜式可求出切线的方程；
（2）函数在区间上，恒成立，可先利用导函数判断函数区间上的单调性，从而使得最小值大于；令
，得，对分别进行讨论从而求得取值范围．
试题解析：
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3-x2+1，f
（2）=3；
f′（x）=3x2-3x，f′
（2）=6，
所以曲线y=f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．
（Ⅱ）f′（x）=3ax2-3x=3x（ax-1），
令f′（x）=0，解得x=0或x=，
以下分两种情况讨论：
若0＜a≤2，则，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
当x∈时，f（x）＞0等价于，即，
解不等式组得-5＜a＜5，因此0＜a≤2；
若a＞2，则，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
当x∈时，f（x）＞0等价于，即，
解不等式组得或，因此2＜a＜5；
综合
（1）和
（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．
考点：
导函数的运用，函数的最值．
【方法点睛】求函数（曲线）在某点处的切线，经常使用点斜式，所以首先要求得该点的坐标以及切线的斜率，而切线的斜率等于函数在该点的导数，所以求导数是求切线的关键步骤；解含参数的高次不等式在区间上恒成立的问题时，主要方法是利用导数判断函数在区间上的单调性以及函数的极值，确定函数的最值，然后将不等式关系转化为与最值有关的不等式，并求出参数的范围．
26．（Ⅰ）；（Ⅱ）函数的单调增区间是，，单调减区间是，，．
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求函数的导函数，再求点上的导数；（Ⅱ）令函数的导函数为零，求零点，这些零点将函数的定义域分为几个区间，然后根据导函数在这些区间上值域的正负，来判断函数的单调区间以及极值．
试题解析：
（Ⅰ），所以．
（Ⅱ），
解，得或．
解，得．
所以，为函数的单调增区间，为函数的单调减区
．
考点：
导函数的运用，极值．
27．
（1）见解析
（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：
（1）由已知，分别解出，即可得出单调区间、极值；
（2）由，分离参数可得：
对任意的恒成立，由
（1）即可得出（3），由
（1）知：
（当且仅当取等号）．令，即，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出．
试题解析：
（1），由，列表如下：
1
+
0
-
单调递增
极大值1
单调递减
因此增区间，减区间，极大值，无极小值.
（2）因为，，所以，
（3）由
（1）可得，当且仅当时取等号.令，则，考点：
利用导数研究函数的性质，数列求和
【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，数列求和等知识，属难题．
解题时利用到恒成立问题的等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法，利用研究证明的结论证明不等式，同时应用到“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”等方法，要求有较高推理能力与计算能力，
28．
（1）
（2）（3）
【解析】
试题分析：
（1）由求导公式和法则求，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把代入求出切点坐标，代入求出的值；
（2）求出方程的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数的取值范围；（3）求函数以及定义域，求出，利用导数和极值之间的关系将条件转化：
在（0，+∞）上有根，即在上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于的不等式，求出的范围．
试题解析：
（1）设在处的切线方程为，因为，所以，故切线方程为.
当时，，将（1,6）代入，得.
（2），由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解.令，则，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.又.故实数的取值范围是.
（3），所以.因为存在极值，所以在上有限，即方程在上有限，则有.显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程的两根，则，，解得，满足，又，即，故所求的取值范围是.
考点：
利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等.
29．
（1）
（2）或.
【解析】
试题分析：
（I）先求出函数在上的解析式与当时解析式之间的关系，利用函数的导数求出函数的最大值（用表示），令其等于-4，从而求出；
（2）由任意的，总存在，使，函数的值域是函数值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决．
试题解析：
（1）当时，，由条件，当，的最大值为-4，所以的最大值为-1.
因为，令，所以.因为，所以，当时，，是增函数；当时，，是减函数.
则当时，取得最大值为，所以.
（2）设在的值域为,在的值域为，则依题意知.因为在上是减函数，所以，又，因为，所以.
①时，，是增函数，.因为，所以，解得.
②时，，是减函数，，因为，所以，.
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