高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型.doc

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选做题部分极坐标系与参数方程

一、极坐标系

1．极坐标系与点的极坐标

（1）极坐标系：

如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．

（2）极坐标：

平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

2．极坐标与直角坐标的互化

点M

直角坐标（x，y）

极坐标（ρ，θ）

互化公式

题型一　极坐标与直角坐标的互化

1、已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（）

A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）

2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（）

A．B．C．D．

3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

4．在极坐标系中，过点（1,0）并且与极轴垂直的直线方程是（　　）

A．ρ＝cosθ　　B．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1

5．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

6.在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ与直线θ＝（ρ>0）所表示的图形的交点的极坐标．

题型二　极坐标方程的应用

由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

1.在极坐标系中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．

2.圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则

|CP|＝________.

3.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.

（i）则圆C的极坐标方程是________；（ii）直线l被圆C所截得的弦长等于________．

4.在极坐标系中，已知圆C：

ρ＝4cosθ被直线l：

ρsin＝a截得的弦长为2，则实数a的值是________．

二、参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

（2）如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么，就是曲线的参数方程．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹

普通方程

参数方程

直线

y－y0＝tanα（x－x0）

（t为参数）

圆

x2＋y2＝r2

（θ为参数）

椭圆

＋＝1（a>b>0）

（φ为参数）

题型一　参数方程与普通方程的互化

【例1】把下列参数方程化为普通方程：

（1）　

（2）

题型二　直线与圆的参数方程的应用

1、已知直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0,2π]），求直线l被圆C所截得的弦长．

2、曲线C的极坐标方程为：

ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：

（1）求曲线C与直线l的普通方程；

（2）若直线l与曲线C相切，求a值．

3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．

综合应用

1、曲线与坐标轴的交点是（）

ABCD

3、参数方程（为参数）化为普通方程为（）

A．B．

C．D．

3．判断下列结论的正误．

（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系（　　）

（2）若点P的直角坐标为（1，－），则点P的一个极坐标是（2，－）（　　）

（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的（　　）

（4）极坐标方程θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条直线（　　）

4．（2013·北京高考）在极坐标系中，点到直线ρsinθ＝2的距离等于________．

5、平面直角坐标系中,将曲线为参数）上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的倍得到曲线,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线的方程为

（Ⅰ）求和的普通方程:

（Ⅱ）求和公共弦的垂直平分线的极坐标方程.

6、已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是

（t为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求的值.

7、已知圆C：

（θ为参数）和直线l：

（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）．

（1）当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；

（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．