动态型问题.docx

动态型问题.docx

《动态型问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《动态型问题.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

动态型问题

动态型问题

（一）动点题

　　动态几何问题是近几年各地中考试题常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

解这类题目要"以静制动"，即把动态问题，变为静态问题来解。

　　动点题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的"不变量"，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

课前热身：

1、如图，点P是边为1的菱形ABCD对角线AC的一个动点，点M、N分别是AB、BC的中点，则MP+NP的最小值是；

2、若点P为边长为5的等边三角形内的一个动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，则PD+PE+PF=；反之，若PD=6，PE=10，PF=8，则等边△ABC的面积为；

3、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是线段AC上的两个动点，分别从A、C两点以相同的速度1㎝/s向C、A运动，若BD=12㎝，AC=16㎝，当t时，四边形DEBF为平行四边形；当时间t=时，四边形DEBF为矩形。

第9课时动态型问题

　　动态型试题比较侧重图形的旋转、平移、对称、翻折，在这里重点考察学生几何图形的认识，对称、全等、相似，是对数学综合能力的考察动态型试题.对学生的思维要求比较高，对题目的理解要清晰，明确变化的量之间的关系，同时还要明确不变的量有那些，抓住关键，理清思路。

动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法．当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解．

类型之一探索性的动态题

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断。

探索型问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要学生自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需要的结论或方法或条件，用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识。

1.（·宜昌市）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.

（1）△ABC与△SBR是否相似？

说明理由；

（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.

2..（·南京市）如图，已知的半径为6cm，射线经过点，，射线与相切于点．两点同时从点出发，点以5cm/s的速度沿射线方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s．

（1）求的长；

（2）当为何值时，直线与相切？

类型之二存在性动态题

存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.

3..（·河南）如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？

若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

4．（·湖州市）已知：

在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

（1）求证：

与的面积相等；

（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：

是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

5.（·白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

（2）当t=秒或秒时，MN=AC；

（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

　（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？

若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

类型之三开放性动态题

开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。

解答开放性问题的思维方法及途径是多样的，无常规思维模式。

开放性问题的条件、结论和方法不是唯一的，要对问题充分理解，分析条件引出结论，达到完善求解的目的。

6.（苏州）如图，在等腰梯形中，，，，．动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．

（1）梯形的面积等于；

（2）当时，P点离开D点的时间等于秒；

（3）当三点构成直角三角形时，点离开点多少时间？

7.（·福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

8.（·苏州）课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．

（1）△A1OB1的面积是；A1点的坐标为（，）；B1点的坐标为（，）；

（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，-1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积．

（3）在

（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于．

中考数学中动点类问题的思考

本文来源于（论文网）

本文作者（李景禄滕晓莉）

动点问题一般是指在一个几何图形的背景下,一个或两个点在运动过程中构成了新的几何图形,由此而产生的问题。

由于此类问题的核心知识是函数——中学数学的一个重要内容,又同时包括空间观念、应用意识、推理能力等内容,不仅体现了运动观点、方程思想、数形结合思想、化归思想和分类思想等数学思想,还包含解方程、相似三角形、三角函数和整式运算等知识,因此,具有较强的选拔功能。

浏览各省市中考试卷,几乎都有动点类问题,而且以压轴题居多。

大连市2009年中考数学第24题（共26题）也是这类问题,本文从试题的设计意图和阅卷的数据进行分析。

一、试题设计意图

24.（11分）如图,矩形ABCD中,AB=6cm,AD=3cm,点E在边DC上,且DE=4cm.动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动,动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动,当点Q移动到点E时,点P停止移动。

若P、Q从A同时出发,设点Q移动时间为t（s）,P、Q两点运动路线与线段PQ所围成图形的面积为S（cm2）。

求S与t的函数关系式。

本题首先是要考查函数知识和函数的思想方法;在点的运动过程中,自变量t取不同的值,导致了面积S的不同,也就必然要考查在t的怎样变化下,S有怎样的变化;在求S的过程中,必须运用相似三角形（或三角函数）、解字母系数的方程、整式乘法和合并同类项等知识。

本题选择了最简单的几何图形作为背景,最基本的运动方式进行变化,最规范的几何图形求面积,最常用的方法解决问题,以考查最核心的内容,并体现最重要的考试导向作用。

二、学生得分情况分析

1.基本不得分的人数有约一半左右,这是我们始料不及的。

因为,我们一直在引导教师、学生关注数学核心内容,关注解题基本方法。

分析出现这种情况的原因,一是这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。

二是一部分学生是对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。

2.其他各得分段的得分百分比大致相当,具有较好的区分度。

得2—3分的学生在利用t表示三角形高的时候就出现了困难,可以看出学生在三角函数和三角形相似这部分知识的理解上存在很大的问题。

可见,基础知识的掌握是非常的重要。

得4—7分的学生对动点问题有一定认识,能较清楚说明一种分类,对另两种分类进行简单尝试,只是有不完整的地方。

也有的同学是因为没有抓住特殊点,不会利用特殊点求特殊值,即没有抓住从特殊到一般的变化规律,才使得自己进行不下去。

更多的学生丢分是因为不会用合适的方法求不规则图形的面积,将不规则图形转化成规则图形的过程太复杂,而且是将所有分类情况的图形画在一个图上,乱上加乱,丢分也就在常理之中了。

得8分的学生主要是三种分类情况没有说清楚,即分类时没有自变量的取值范围。

而本题主要就是考查学生对分类讨论数学思想的理解情况,若没有分类,就没有体现运动变化,就没有分段函数的产生。

得9—10分的学生主要是结果计算错误,可以看出学生在整式化简方面的能力较弱。

2010年的大连市中考不允许使用计算器,要求学生要具备一定的计算、化简能力,显然教师在教学中培养学生计算能力的问题不能忽视。

三、教学反思

1.最常用、最普通、最基本的方法是最好的方法。

有教师认为教给学生一些解题技巧、特殊方法,甚至超课标的高深知识,可以解决学生应考中的问题。

也有学生及学生家长忽视教师最基本方法的教学,追求偏、怪的解题方法,这样做是将简单的知识人为的复杂化了,增加了学习及培养学习习惯的难度,不仅忽视了基础知识的学习,对超范围的知识也是一知半解,得不偿失。

而事实上,教学中最基本的、学生最常用的、大家感觉最普通的方法,才是最好的方法。

本题的解答有学生运用了高中反三角函数的知识就是一个例子。

2.将几何图形简单化。

有学生将三种分类情况的图形画在一起,每种分类后的相应图形都填加了若干辅助线,所以整道题看起来就象个迷宫,自己身陷其中,晕头转向;还有的学生在求不规则图形面积时,方法麻烦,将这个不规则图形割成很多块,需要反复求高,求面积,计算量太大。

在教学过程中,教师要对基本图形进行充分的分析,引导学生将复杂问题简单化,学会利用画几何图形来分散难点、降低难度。

3.规范分类讨论思想。

很多学生知道这类问题的求解应该进行分类讨论,但不知道分界点在哪,应如何去确定。

所以,部分学生没有写清楚分类情况,要么不写要么乱写;还有的学生是将其中的一类又细化再分类,浪费了很多时间。

动点问题最突出的特点就是点是运动的,图形是变化的。

教师在教学时要“以静制动”,把动态问题,变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量”,以不变应万变。

并从特殊位置点着手确定自变量取值范围,将每种运动变化情况单独用图形进行表示。

这样可以帮助学生理请头绪,降低试题难度。

考试的一个重要作用是要引导和改善学生的数学学习方式,促进和提高教师的教学水平。

动点类问题的训练要关注所考查内容的核心,而不要被错综繁杂的问题背景所干扰;动点类问题的评价也要有明确的针对性,而不能设置过多干扰项,降低效度。