赏析幂函数的图象特征及应用.docx
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一、幂函数图像的分布规律
幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。
1.“一全有”:
指所有幂函数的图像在第一象限都出现,分布情况如图1所示,其特点如下:
①抓住三条特征线:
直线x=1,y=x,y=1把幂函数的图像分为三个区域,这三个区域对应着幂函数y=xα在α<0,0<α<1,α>1时的图像;②第一象限内幂函数y=xα图像的区域分布情况为:
在直线x=1的右边,α越大,图像越高,越趋向于直线x=1;在直线x=1的右边,α越小,其图像越低,越趋向于x轴。
2.“二一偶”:
指当幂函数为偶函数时,其图像关于y轴对称,即幂函数的图像出现在第一、第二象限。
3.“三一奇”:
指当幂函数为奇函数时,其图像关于原点对称,即幂函数的图像出现在第一、第三象限。
4.“四必无”:
指由定义,知幂函数的图像不可能出现在第四象限。
二、幂函数图像的应用
1.识别图像
例1.图2中的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图像,已知α取±2,±12四个值,则其相应于曲线C1,C2,C3,C4的α依次为()
A.-2,-12,12,2
B.2,12,-12,-2
C.-12,-2,2,12
D.2,12,-2,-12
解:
根据幂函数的图像特点,立即可以断定相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值排序是由大到小,故选B。
2.用于判断方程的个数
例2.方程x2=2x的根的个数为()
A.1B.2C.3D.
解:
令f(x)=x2,g(x)=2x,在同一坐标平面内作出这两个函数的图象,如图三所示,由图可知,交点有三个,所以方程x2=2x的根的个数为3,故选C。