赏析幂函数的图象特征及应用.docx

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一、幂函数图像的分布规律

幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。

1.“一全有”：

指所有幂函数的图像在第一象限都出现，分布情况如图1所示，其特点如下：

①抓住三条特征线：

直线x=1，y=x，y=1把幂函数的图像分为三个区域，这三个区域对应着幂函数y=xα在α<0,0<α<1,α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=xα图像的区域分布情况为：

在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x轴。

2.“二一偶”：

指当幂函数为偶函数时，其图像关于y轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。

3.“三一奇”：

指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。

4.“四必无”：

指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。

二、幂函数图像的应用

1.识别图像

例1.图2中的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C1,C2,C3,C4的α依次为（）

A.-2，-12，12，2

B.2，12，-12，-2

C.-12，-2，2，12

D.2，12，-2，-12

解：

根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值排序是由大到小，故选B。

2.用于判断方程的个数

例2.方程x2=2x的根的个数为（）

A.1B.2C.3D.

解：

令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。