数学必修4平面向量综合练习题答案.doc
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数学必修4平面向量综合练习题
一、选择题【共12道小题】
1、下列说法中正确的是（ ）
A.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c
C. D.若b⊥c,则（a+c）·b=a·b
参考答案与解析:
解析：
A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥b,a⊥c,b与c反方向则不成立;C中应为;D中b⊥cb·c=0,所以（a+c）·b=a·b+c·b=a·b.
答案：
D
主要考察知识点:
向量、向量的运算
2、设e是单位向量,=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
参考答案与解析:
解析：
所以||=||,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为||=||=2,所以四边形ABCD是菱形.
答案：
B
主要考察知识点:
向量、向量的运算
3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+3b，d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为（ ）
A.6 B.-6 C.3 D.-3
参考答案与解析:
解析：
∵c⊥d,∴c·d=（2a+3b）·（ka-4b）=0,即2k-12=0,∴k=6.
答案：
A
主要考察知识点:
向量、向量的运算
4、设0≤θ＜2π,已知两个向量=（cosθ，sinθ）,=（2+sinθ，2-cosθ），则向量长度的最大值是（ ）
A. B. C. D.
参考答案与解析:
解析：
=（2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ）,
所以||=≤=.
答案：
C
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
5、设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（ ）
A.（2,6） B.（-2,6） C.（2,-6） D.（-2,-6）
参考答案与解析:
解析：
依题意,4a+4b-2c+2（a-c）+d=0,所以d=-6a+4b-4c=（-2，-6）.
答案：
D
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
6、已知向量a=（3，4），b=（-3，1），a与b的夹角为θ,则tanθ等于（ ）
A. B.- C.3 D.-3
参考答案与解析:
解析：
由已知得a·b=3×（-3）+4×1=-5，|a|=5，|b|=，
所以cosθ=.
由于θ∈［0，π］,
所以sinθ=.
所以tanθ==-3.
答案：
D
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b（k、l∈R）,且与共线,则k、l应满足（ ）
A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0
参考答案与解析:
解析：
因为与共线,所以设=λ（λ∈R）,即la+b=λ（a+kb）=λa+λkb,所以（l-λ）a+（1-λk）b=0.
因为a与b不共线,所以l-λ=0且1-λk=0,消去λ得1-lk=0,即kl-1=0.
答案：
D
主要考察知识点:
向量、向量的运算
8、已知平面内三点A（-1,0）,B（5,6）,P（3,4）,且AP=λPB,则λ的值为（ ）
A.3 B.2 C. D.
参考答案与解析:
解析：
因为=λ,所以（4，4）=λ（2，2）.所以λ=.
答案：
C
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则（ ）
A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0
C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0
参考答案与解析:
解析：
根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.
答案：
D
主要考察知识点:
向量、向量的运算
10、设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若,且·=1,则P点的轨迹方程是（ ）
A.3x2+y2=1（x＞0,y＞0） B.3x2y2=1（x＞0,y＞0）
C.x2-3y2=1（x＞0,y＞0） D.x2+3y2=1（x＞0,y＞0）
参考答案与解析:
解析：
设P（x,y）,则Q（-x,y）.设A（xA）,xA,B（0,yByB0,=（x,y-yB）=（xAx,-y）.
∵=2PA,∴x=2（xA,x）,y-yB=2y,xA=x,yB=3y（x＞0,y＞0）.
又∵·=1,（-x,y）·（-xA,yB）=1,
∴（-x,y）·（x,3y）=1,
即x2+3y2=1（x＞0,y＞0）.
答案：
D
主要考察知识点:
向量、向量的运算
11、已知△ABC中，点D在BC边上，且，若,则r+s的值是（ ）
A. B.0 C. D.-3
参考答案与解析:
解析：
△ABC中，==（）=-，故r+s=0.
答案：
B
主要考察知识点:
向量、向量的运算
12、定义a※b=|a||b|sinθ，θ是向量a和b的夹角，|a|、|b|分别为a、b的模，已知点A（-3,2）、B（2,3）,O是坐标原点，则※等于（ ）
A.-2 B.0 C.6.5 D.13
参考答案与解析:
解析：
由题意可知=（-3,2）,=（2,3）,
计算得·=-3×2+2×3=0，
另一方面·=||||cosθ，
∴cosθ=0,
又θ∈（0,π），从而sinθ=1，∴※=||||sinθ=13.
答案：
D
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
二、填空题【共4道小题】
1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是____________.
参考答案与解析:
解析：
由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72-32-52=15.设a与b的夹角为θ,则cosθ===,
所以θ=60°.
答案：
60°
主要考察知识点:
向量、向量的运算
2、若=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2,且B、C、D三点共线,则实数λ=___________.
参考答案与解析:
解析：
由已知可得=（e1-3e2）-（2e1+e2）=-e1-4e2,
=（5e1+λe2）-（e1-3e2）=4e1+（λ+3）e2.
由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得,
即-e1-4e2=m［4e1+（λ+3）e2］.所以-1=4m且-4=m（λ+3）,消去m得λ=13.
答案：
13
主要考察知识点:
向量、向量的运算
3、已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是__________.
参考答案与解析:
解析：
运用夹角公式cosθ=，代入数据即可得到结果.
答案：
120°
主要考察知识点:
向量、向量的运算
4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_________________.
图2-1
① ②+ ③ ④+ ⑤-
参考答案与解析:
解析：
由向量减法法则可知③⑤不符合条件,①②显然满足，④不满足.
答案：
①②
主要考察知识点:
向量、向量的运算
三、解答题【共6道小题】
1、如图2-2所示，在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a，试判断△ABC的形状.
图2-2
参考答案与解析:
解：
∵a·b=b·c,∴b·（a-c）=0.
又b=-（a+c）,
∴-（a+c）·（a-c）=0,即c2-a2=0.
∴|c|=|a|.同理,|b|=|a|,
故|a|=|b|=|c|,所以△ABC为等边三角形.
主要考察知识点:
向量、向量的运算
2、如图2-3所示,已知||=||=1，、的夹角为120°,与的夹角为45°,||=5,用，表示.（注：
cos75°=）
图2-3
参考答案与解析:
解：
设=λ+μ,
则·=（λ+μ）·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.
又·=||||cos45°=5cos45°=,
∴λμ=,
·=（λ+μ）·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.
又·=||·||cos（120°-45°）=5cos75°=,
∴λ+μ=.
∴λ=,μ=.
∴=+.
主要考察知识点:
向量、向量的运算
3、在四边形ABCD中（A、B、C、D顺时针排列）,=（6，1），=（-2，-3）.若有∥,又有⊥,求的坐标.
参考答案与解析:
解：
设=（x,y）,则=（6+x,1+y）,=（4+x,y-2）,=（-x-4,2-y）,=（x-2,y-3）.
又∥及⊥,
所以x（2-y）-（-x-4）y=0, ①
（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0. ②
解得或
∴=（-6,3）或（2,-1）.
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
4、已知平面向量a=（,-1）,b=（,）.
（1）证明a⊥b;
（2）若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+（t2-3）b,y=-ka+tb,且x⊥y,求函数关系式k=f（t）.
参考答案与解析:
（1）证明：
因为a·b=（，-1）·（，）=+（-1）×=0，所以a⊥b.
（2）解：
由已知得|a|==2，|b|==1,
由于x⊥y,所以x·y=0,即［a+（t2-3）b］·（-ka+tb）=0.
所以-ka2+ta·b-k（t2-3）b·a+t（t2-3）b2=0.
由于a·b=0,所以-4k+t（t2-3）=0.
所以k=t（t2-3）.
由已知k，t不同时为零得k=t（t2-3）（t≠0）.
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=（1,2）.
（1）若|c|=,且c∥a,求c的坐标;
（2）若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
参考答案与解析:
解：
（1）设c=（x，y）,∵|c|=,∴,即x2+y2=20, ①
∵c∥a,a=（1，2）,∴2x-y=0,即y=2x. ②
联立①②得或
∴c=（2,4）或（-2,-4）.
（2）∵（a+2b）⊥（2a-b）,∴（a+2b）·（2a-b）=0,
即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0. ①
∵|a|2=5，|b|2=,代入①式得a·b=.
∴cosθ==-1.
又∵θ∈［0，π］，∴θ=π.
主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
6、如图2-4所示,已知△AOB,其中=a,=b,而M、N分别是△AOB的两边OA、OB上的点,且=λa（0＜λ＜1）,=μb（0＜μ＜1）,设BM与AN相交于P,试将向量=p用a、b表示出来.
图2-4
参考答案与解析:
解：
由题图可知p=或p=,而=λa，
设=m（）=m（b-λa）,
又∵=μb，设=n（）=n（a-μb）,
∴p==λa+m（b-λa）=λ（1-m）a+mb，
p==μb+n（a-μb）=na+μ（1-n）b.
∵a、b不共线,且表示方法唯一，
∴解得
∴p=λ［］a+，
即p=.
主要考察知识点:
向量、向量的运算
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