选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.doc

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3.1　空间向量及其运算知识点

1．空间向量的有关概念

（1）空间向量：

在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．

（2）单位向量：

模为1的向量称为单位向量

（3）相等向量：

方向相同且模相等的向量．

（4）共线向量：

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．

（5）共面向量：

平行于同一个平面的向量．

2.空间向量的加法、减法与数乘运算

向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则

向量加法的多边形法则：

首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量

.

运算律：

①加法交换律：

a＋b＝b＋a②加法结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）③数乘分配律：

λ（a＋b）＝λa＋λb.

3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

（1）共线向量定理

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

推论：

点P在直线AB上的充要条件是：

存在实数λ，使得①

或对空间任意一点O,有②

或对空间任意一点O，有其中x＋y＝1③

【推论③推导过程：

】

（2）共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么p与a，b共面的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y）使p＝xa＋yb

推论：

空间一点P位于平面ABC内的充要条件是

存在唯一有序实数对（x,y）使，

或对空间任意一点O，有

或对空间任意一点O，有，其中x＋y＋z＝1

【推论③推导过程：

】

（3）空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc

基底：

把{a，b，c}叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

4．空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角：

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积：

已知空间两个非零向量a，b，向量a，b的数量积记作a·b，且a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）空间向量数量积的运算律：

①结合律：

（λa）·b＝λ（a·b）；②交换律：

a·b＝b·a；③分配律：

a·（b＋c）＝a·b＋a·c.

5．空间向量的坐标表示及应用

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）

（1）数量积的坐标运算：

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

（2）共线与垂直的坐标表示：

a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R），

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a，b均为非零向量）．

（3）模、夹角和距离公式：

|a|＝＝，

cos〈a，b〉＝＝.

设A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2），则dAB＝||＝.

6.用空间向量解决几何问题的一般步骤：

（1）适当的选取基底{a，b，c}；

（2）用a，b，c表示相关向量；

（3）通过运算完成证明或计算问题．

题型一　空间向量的线性运算

用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．

例1：

三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

解析：

＝＋＝＋＝＋（－）＝＋[（＋）－]＝－＋＋.

＝＋＝－＋＋＝＋＋.

例2：

如图所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若＝，＝2，且,试求x、y、z的值．

.解　连接AF，＝＋.∵＝－＝－（＋）

＝＋＝－＝－＝－（＋）＝∴＝＋＝

题型二　共线定理应用

向量共线问题：

充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b，化简得出a＝b，从而得出a∥b，即a与b共线．

点共线问题：

证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三点共线，即证明与共线．

例3：

如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？

∵

∴＝2，∴∥，即与共线．

例4：

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2ED1，F在对角线A1C上，且＝.

求证：

E，F，B三点共线．

证明：

　设＝a，＝b，＝c.

∴＝2=＝b，＝＝=（－）＝（＋－）＝a＋b－c

∴E＝－＝a－b－c＝，＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，

∴＝.所以E，F，B三点共线．

题型三　共面定理应用

点共面问题：

证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）即可

例5：

已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外一点O，若＝＋＋，则点P是否与A、B、C一定共面？

试说明理由．

解析：

∵

∴＝＋，故A、B、C、P四点共面.

例6：

如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，应用向量共面定理证明：

E、F、G、H四点共面．

证明：

分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.

∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点

顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝.

∴＝－＝－＝＝（＋）＝（－）＋（－）＝（－）＋（－）

＝＋.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.

例7：

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和A1D1的中点，求证向量，，是共面向量．

证明：

如图所示，＝＋＋＝－＋＝（＋）－＝－.

由向量共面的充要条件知，，是共面向量．

题型四　空间向量数量积的应用

例8：

①如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

（1）求AC1的长；

（2）求BD1与AC夹角的余弦值．

解析：

（1）记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.

||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为.

（2）＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.

∴cos〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.

②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为（　　）A．a2B.a2C.a2D.a2

解析：

设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.

＝（a＋b），＝c，∴·＝（a＋b）·c＝（a·c＋b·c）＝（a2cos60°＋a2cos60°）＝a2.

题型五　空间向量坐标运算

例9：

如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（　　）

A．（1,1,1） B.C. D．（1,1,2）

设PD＝a（a>0），则A（2,0,0），B（2,2,0），P（0,0，a），E，

∴＝（0,0，a），＝，cos〈，〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴E的坐标为（1,1,1）．

例10：

已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ）．若a，b，c三向量共面，则实数λ=________________

解析：

由题意得c＝ta＋μb＝（2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ），∴　∴

例11：

已知△ABC的顶点A（1,1,1），B（2,2,2），C（3,2,4），试求△ABC的面积

＝（1,1,1），＝（2,1,3），||＝，||＝，·＝2＋1＋3＝6，

∴cosA＝cos〈，〉＝＝.∴sinA＝＝.

∴S△ABC＝||·||·sinA＝×××＝.

例12：

已知a＝（λ＋1,0,2），b＝（6,2μ－1,2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　）

A．2， B．－，C．－3,2 D．2,2

解析　由题意知：

解得或

例13：

已知空间中三点A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），设a＝，b＝.，若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．

方法一　∵ka＋b＝（k－1，k,2）．ka－2b＝（k＋2，k，－4），且ka＋b与ka－2b互相垂直，

∴（k－1，k,2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，∴k＝2或－，

方法二　由

（2）知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，∴（ka＋b）·（ka－2b）＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或－.

例14：

已知空间三点A（0,2,3），B（－2,1,6），C（1，－1,5）．

（1）求以，为边的平行四边形的面积；

（2）若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．

解

（1）cos〈，〉＝＝＝＝.∴sin〈，〉＝，

∴以，为边的平行四边形的面积为S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.

（2）设a＝（x，y，z），由题意得，解得或，

例15：

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（　　）

A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF与A1D、AC都垂直C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面

解析：

设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1（1,0,1），D（0,0,0），A（1,0,0），C（0,1,0），E，F，B（1,1,0），D1（0,0,1），＝（－1,0，－1），＝（－1,1,0），＝，＝（－1，－1，1），＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.

例16：

已知O（0,0,0），A（1,2,3），B（2,1,2），P（1,1,2），点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是__________．

解析：

设＝λ＝（λ，λ，2λ），则＝（1－λ，2－λ，3－2λ），＝（2－λ，1－λ，2－2λ）．

∴·＝（1－λ）（2－λ）＋（2－λ）（1－λ）＋（3－2λ）（2－2λ）＝6λ2－16λ＋10＝6（λ－）2－.

∴当λ＝时，·取最小值为－.此时，＝（，，），

综合练习

一、选择题

1、下列命题：

其中不正确的所有命题的序号为__________．

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；

③若a、b共线，则a与b所在直线平行；

④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z（x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．

⑤设命题p：

a，b，c是三个非零向量；命题q：

{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的充要条件

解析：

选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件

2、有下列命题：

其中真命题的个数是（　　）

①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；

③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.

A．1 B．2 C．3 D．4

解析　其中①③为真命题．②中，若a，b共线，则p≠xa＋yb；

3、已知A（1,0,0），B（0，－1,1），＋λ与的夹角为120°，则λ的值为（　　）

A．±B.C．－D．±

解析：

＋λ＝（1，－λ，λ），cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.

4、如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于 （　　）

A．6 B．6C．12 D．144

解析2＝（＋＋）2=2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144∴||＝12

证明　设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝－a＋（a＋b＋c）＝－a＋b＋c，

＝＋＝＋（＋）＝－a＋b＋c＝.∴∥，即B、G、N三点共线．

5、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为（　　）

A.a B.a C.a D.a

解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A（a,0,0），C1（0，a，a），N.

设M（x，y，z）．∵点M在AC1上且＝，∴（x－a，y，z）＝（－x，a－y，a－z）

∴x＝a，y＝，z＝.∴M，∴||＝＝a.

6、如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为（　　）

A．0 B.C. D.

解析　设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，

·＝a·（c－b）＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.

7、如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c

解析　＝＋＝＋（－）＝c＋（b－a）＝－a＋b＋c.

8、8、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于（　　）[

A．5B．6C．4D．8

设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，||＝5.[

9、在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（　　）

A.＝3－2－B．＋＋＋＝0C．＋＋＝0D．＝－＋

解析：

　C中＝－－.故M、A、B、C四点共面．

二、填空题

10、同时垂直于a＝（2,2,1）和b＝（4,5,3）的单位向量是____________________．

解析　设与a＝（2,2,1）和b＝（4,5,3）同时垂直b单位向量是c＝（p，q，r），则

解得或所求向量为或.

11．若向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1,2）且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.

解析　由已知得＝＝，∴8＝3（6－λ），解得λ＝－2或λ＝.

12．在空间直角坐标系中，以点A（4,1,9）、B（10，－1,6）、C（x,4,3）为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．

解析　由题意知·＝0，||＝||，可解得x＝2.

13．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.

解析　由条件知（a＋3b）·（7a－5b）＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，及（a－4b）·（7a－2b）＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.

两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.

代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴〈a，b〉＝60°.

14.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．

解析:

2＝（＋＋）2=2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos（π－θ）＝3－2cosθ.

15．已知a＝（1－t,1－t，t），b＝（2，t，t），则|b－a|的最小值为________．

解析　b－a＝（1＋t,2t－1,0），∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值.

三、解答题

16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：

（1）；

（2）；（3）；（4）.

（1）＝（＋）＝（＋＋）＝（a＋b＋c）．

（2）＝（＋）＝（＋2＋）＝（a＋2b＋c）．

（3）＝（＋）＝[（＋＋）＋（＋）]＝（＋2＋2）＝（a＋2b＋2c）＝a＋b＋c.

（4）＝＋＝＋（－）＝＋＝＋＋＝a＋b＋c

17、如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：

B、G、N三点共线．

18．（13分）直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，

D、E分别为AB、BB′的中点．

（1）求证：

CE⊥A′D；

（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

（1）证明：

设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.

∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D.

（2）＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.·＝（－a＋c）·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.