指数、对数、幂函数对比.doc
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指数函数
概念：
一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：
⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：
规律：
1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；
当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：
“大增小减”。
即：
当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：
1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=ax在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，所以它存在反函数，
我们把指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的反函数称为对数函数，并记为y=logax（a＞0，a≠1）.
因为指数函数y=ax的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞），所以对数函数y=logax的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）.
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=logax（a＞0，a≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草图
由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax（a＞0，a≠1）的图像的特征和性质.见下表.
]
图
象
a＞1
a＜1
性
质
（1）x＞0
（2）当x=1时，y=0
（3）当x＞1时，y＞0
0＜x＜1时，y＜0
（3）当x＞1时，y＜0
0＜x＜1时，y＞0
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
补充
性质
设y1=logaxy2=logbx其中a＞1，b＞1（或0＜a＜10＜b＜1）
当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2
当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2
比较对数大小的常用方法有：
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
（2）若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
（3）若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
（4）若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax（a＞0，a≠1）
y=logax（a＞0，a≠1）
定义域
（-∞，+∞）
（0，+∞）
值域
（0，+∞）
（-∞，+∞）
函
数
值
变
化
情
况
当a＞1时，
当0＜a＜1时，
当a＞1时
当0＜a＜1时，
单调性
当a＞1时，ax是增函数；
当0＜a＜1时，ax是减函数.
当a＞1时，logax是增函数；
当0＜a＜1时，logax是减函数.
图像
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．
从中可以归纳出以下结论：
①它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
②时，幂函数图像过原点且在上是增函数．
③时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．
④任何两个幂函数最多有三个公共点．
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数（R，是常数）的图像都过点；
②当时函数的图像都过原点；
③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；
④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）
⑤当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）
⑥当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点；
（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。
无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，（当且仅当即时取等号），由此可得函数（a>0,b>0,x∈R+）的性质:
当时，函数（a>0,b>0,x∈R+）有最小值，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。
函数（a>0,b>0）在区间（0，）上是减函数，在区间（，+∞）上是增函数。
因为函数（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数（a>0,b>0,x∈R-）的性质：
当时，函数（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。
函数（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上是增函数，在区间（-，0）上是减函数。
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