-新课标极坐标与参数方程分类汇编.docx

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2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编

1.【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），M是C1上的动点，P点满足OP=2OM，P点的轨迹为曲线C2.

（1）求C2的方程；

（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

【答案】

（1）设P（x,y），则由条件知.由于M点在C1上，所以，即，从而C2的参数方程为（为参数）.

（2）曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为.射线与C1的交点A的极径为，射线与C2的交点B的极径为.所以.

2.【2012年新课标】已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为

（1）求点的直角坐标；

（2）设为上任意一点，求的取值范围.

【答案】

（1）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.

所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、、、.

（2）设，则

.

所以的取值范围为.

3.【2013年新课标1】已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π＝

【答案】

（1）将消去参数t，化为普通方程（x－4）2＋（y－5）2＝25，

即C1：

x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

（2）C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由

解得或

所以C1与C2交点的极坐标分别为，.

4.【2013年新课标2】已知动点P，Q都在曲线C：

（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0＜α＜2π＝，M为PQ的中点．

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

【答案】

（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），

因此M（cosα＋cos2α，sinα＋sin2α）．

M的轨迹的参数方程为（α为参数，0＜α＜2π）．

（2）M点到坐标原点的距离

d＝（0＜α＜2π）．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

5.【2014年新课标2】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标。

【答案】

（1）的普通方程为

可得的参数方程为（为参数，）

（2）设由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同。

故的直角坐标为，即

6.【2015年新课标1】在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求的极坐标方程。

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积。

【答案】

（1）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为.

（2）将代入，得，解得

.故，即

由于的半径为1，所以的面积为

7.【2015年新课标2】在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线

（1）求与交点的直角坐标；

（2）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值

【答案】

（1）曲线的直角坐标方程是

（2）曲线

8.【2016年新课标1】在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。

在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ=4cosθ.

（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。

【答案】

（1） （均为参数）∴ ①

∴为以为圆心，为半径的圆．方程为

∵∴ 即为的极坐标方程

（2） 两边同乘得

即 ②

：

化为普通方程为由题意：

和的公共方程所在直线即为

①—②得：

，即为∴∴

9.【2016年新课标2】在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．

【答案】

（1）整理圆的方程得，

由可知圆的极坐标方程为．

（2）记直线的斜率为，则直线的方程为，

由垂径定理及点到直线距离公式知：

，

即，整理得，则

10.【2016年新课标3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+π4）=22

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； 

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 

解:

（1）C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0

（2）由题意，可设点P的直角坐标为（cosα，sinα），

∵C2是直线，∴|PQ|的最小值即为P到C2的距离d（α）的最小值，

d（a）＝＝

当且仅当α＝2kπ＋（k∈Z）时，d（α）取得最小值，最小值为，

此时P的直角坐标为（，）

【2017新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为。

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a。

【答案】

（1）曲线的普通方程为，

当时，直线的普通方程为.

由解得或，

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.

当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以。

综上，或。

【2017新课标2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

【答案】

⑴设，则．

，解得，化为直角坐标系方程为．

⑵连接，易知为正三角形，为定值．

∴当高最大时，面积最大，

如图，过圆心作垂线，交于点交圆于点，

此时最大

【2017新课标3】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为与C的交点，求M的极径．

【解析】⑴将参数方程转化为一般方程

……①……②

①②消可得：

，即的轨迹方程为；

⑵将参数方程转化为一般方程……③

联立曲线和，解得，由

解得，即的极半径是。