的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设
（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：
3的两部分，请求出P点的坐标．
类型二：
面积问题
4.如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝
S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
5.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系
中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（–3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与
（2）中△APE的最大面积相等?
若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（3，3），AD
为斜边上的高．抛物线y＝ax2＋2x与直线y＝
x交于点O、C，点C的横坐标为6．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S．
（1）求OA所在直线的解析式及a的值．
（2）当m≠3时，求S与m的函数关系式．
（3）如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN＝
．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
类型三：
等腰三角形
7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
8.如图
（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数
的图象为
.
（1）平移抛物线
，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.
（2）平移抛物线
，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为
，如图
（2），求抛物线
的函数解析式及顶点C的坐标.
（3）设P为y轴上一点，且
，求点P的坐标.
（4）请在图
（2）上用尺规作图的方式探究抛物线
上是否存在点Q，使
为等腰三角形.若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.
类型四：
直角三角形
9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
10.如图1，抛物线y＝x2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）
（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；
（2）设抛物线y＝x2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y＝x2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
y
x
B
A
O
C
图1
11.如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？
最大面积为多少？
12.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型五：
相似三角形
13.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14.已知：
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x＝－2．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：
如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？
如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：
如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？
如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
15.河南省2017年T23.（11分）如图，直线
与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛
物线
经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
16.河南省2016年T23.（11分）如图1，直线y=-
x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4）抛物线y=
x2+bx+c经过点A,交y轴于点B（0,-2）.点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D,连接PB.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长.
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD/P/，且∠PBP/=∠OAC，当点P的对应点P/落在坐标轴上时，请直接写出P点的坐标.
O
y
x
A
B
C
类型六：
线段和差与最值
17.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
18.河南省2015年T23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：
当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：
对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
P
E
O
F
C
D
B
A
x
y
C
B
A
y
O
E
D
x
备用图
19.
如图，过抛物线y=
x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；
①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．
20.河南省2011年T23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线
与抛物线
交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.
类型七：
平行四边形
21.如图，抛物线
与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线
与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，
求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样
的四个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出所有满足条件的F
点坐标；如果不存在，请说明理由．
22.已知抛物线
（
）与
轴相交于点
，顶点为
.直线
分别与
轴，
轴相交于
两点，并且与直线
相交于点
.
（1）填空：
试用含
的代数式分别表示点
与
的坐标，则
；
（2）如图，将
沿
轴翻折，若点
的对应点
′恰好落在抛物线上，
′与
轴交于点
，连结
，求
的值和四边形
的面积；
（3）在抛物线
（
）上是否存在一点
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出
点的坐标；若不存在，试说明理由.
23.河南省2013年T23.（11分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线
交于C、D两点，其中点C
在y轴上，点D的坐标为
.点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？
请说明理由.
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.
24.如图，在平面直角坐标系O—XY中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴
的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B，且12a+5c=0。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/秒的速度向点C移动，那么：
①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。
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