初中数学变式教学实践1.docx
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初中数学变式教学实践1
初中数学变式教学的实践研究
一、课题的提出
本课题的研究起源可追溯到笔者在高中求学时。
当时，笔者最喜欢的功课就是数学，我们的数学老师在课堂上的常用语是“比如说……”。
她在讲完一道题后，往往能再比如说出许多与之同类的数学考题，以提醒我们能触类旁通，举一反三，这样的数学教学方式使我们茅塞顿开，恍然大悟，学习效益大增。
90年大学毕业后，笔者被分配进宁海县城关中学，初出茅庐，教书育人只凭一腔热情，大搞题海战术，尽管学生中考数学成绩名列前茅，但师生俱累得心神俱疲。
从92年开始一直到2000年，笔者一直担任初三数学教师，并担任校数学竞赛总教练。
八年来，笔者做了几乎能收集到的全国各地中考题和竞赛题，慢慢发现并总结出一些规律脉络。
许多数学考题尽管历年都在不断变化发展，但无论怎样改革，都离不开历史数学题的继承.数学基础知识、基本技能、思想方法总是不变的，即“万变不离其宗”，只是在题目的立意、创设的情景、设问的角度中力求新颖和鲜活的变化.
目前在教学一线的部分教师工作勤勤恳恳，一直以“熟能生巧”来鞭策自己，但事实给我们以极大的反差：
许多我们认为让学生练熟的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的学生就无所适从。
许多实例也表明，大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣，这正是“题海战术”的最大弊端。
许多教师曾意识到此类问题，因此在课堂教学中频频提醒学生解题学习要触类旁通，懂一题会解一片。
但究竟如何对数学问题进行举一反三，深入挖掘，充分演变，教师自己也很困惑。
2002年，宁海县教育局组织了第八届县教坛新秀评比，笔者作为主要评委之一，参与了笔试部分的命题工作，其中有一教学设计题，选自初一教材“在直线t同侧有两点A、B，在直线t上找一点P，PA+PB最小，请你设计一教学方案，如何将此题向初三学生进行讲解，分析问题的引申、拓展与演变。
”参与评比的青年教师均有较强的解题能力，但此题的得分较低，绝大部分教师无所适从，只能就题论题。
这正反应出我们教师对数学知识的处理。
比较单一，没能将问题进行引申和一般化，不能演变，不能在各种不同的情况下，识别出数学问题的本质，从而不能使学生在参与中展示知识发展的过程，不能将所学知识归纳入自己的知识系统，获得更深刻、更广阔的理解。
2007年参加了省教育厅安排的“名师送教”活动，在台州玉环给全市数学教师主讲了《在美丽的变式中领略数学的魅力》学术报告，引起了全体教师的浓厚兴趣。
2008年受宁波市数学教研员沃苏青老师推荐，在市新华书店报告厅主讲了变式教学教案《从二点间距离谈起》的报告，引起了与会者的强烈反响，受到了一致好评。
同时，课题在笔者名师带徒活动中也进行了长达四年的研究和实施，已取得了良好的实际教学效果。
二、本课题的创新之处
本课题的研究与实践较以往的“变式教学研究”有更实在明显的教学效益。
以往的变式教学更多地在理论上列举了一题多变、举一反三的教学与学习的优势，更多地立足于宏观教学理论上的探讨。
本课题则立足于具体的教师课堂教学和学生解题训练的实际，具体研究了数学问题是如何演变和如何深入的途径，注重于数学问题演变的技术手段（1、图形内部结构的变式探究2、几何图形形状的变式探究3、对原题型的条件或结论的变式探究4、原题数量关系的变式探究5、因某一知识迁移的变式探究6、增加试题层次的变式探究7、转化设问方向的变式探究8、纵横交错、信息互换的变式探究）。
2004年，我根据自己对数学变式教学的理解，写过两篇论文——《三角形相似判定定理
（1）的教学实录》、《习题演变的常见策略》。
文章得到了中国教育学会中学数学教学专业委员会的肯定，文章均在《中学数学教育》发表。
特别是提供可供教师课堂教学与学生解题训练所用的经典变式问题。
《数学变式百例精讲》是国内教学类书籍选题的首创（宁波出版社选题审题调研结论）。
因此，本课题的研究成果具有更强的模仿性、可操作性、推广性。
三、研究的依据
随着科技、信息的高速发展，迫切要求中学数学教学不应仅局限于知识的传授，更应教会学生会学数学、会用数学，培养学生善于创新的精神。
为此，探索并采用有效的教学策略和教学方法，形成实用高效的课堂教学模式，已成为中学数学教学研究和改革的重要内容。
但是，长期以来，受“应试教育”的影响，“掐头去尾烧中段”的“题海战术”不仅严重困扰着中学数学教学，而且已成为导致学生厌学，扼制学生学习主动性、针对性和探索创新精神的主要根源。
如何解决这个问题？
变式教学及其模式，也许是达到这一目的的一个有效途径。
这种方法不但可应用于课堂教学，而且在数学课外活动中也具有更为广泛的价值，更是当前大力倡导的开展研究性学习的重要途径。
变式教学以现代教育理论为指导，以精心设计问题、引导探索发现、展现形成过程、注重知识建构、摒弃题海战术、提高应变能力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学原则，深入挖掘教材中蕴涵的变式创新因素，努力培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。
1．皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构过程。
学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中伴随着同化和顺应的认知结构不断再建构的过程，是在新水平上对原有认知结构进修延伸、改组而形成的新系统。
学生只有通过积极自觉的认知活动，来激活大脑中的原有认知结构，使具有逻辑意义的新知识与认知结构中的旧知识发生相互作用（同化与顺应），才能实现内化中的再建构。
2．建构主义的数学教学观认为，学习是学习者主动的建构活动，而不是对知识的被动接受。
真正的数学教学应具有如下几个特征：
（1）在学习目标方面，表现为对知识的深层次的理解；
（2）在学习过程方面，表现为高水平的思维；（3）在学习的情境方面，表现为师生、生生之间的充分沟通、合作。
教师应成为学习活动的促进者，在肯定学生主体地位的前提下，教师又应在教学活动中起主导作用。
教师需要就学习内容设计出有思考价值的、符合学生认知发展水平的、具有挑战性的问题，创设平等、自由、相互接纳的学习氛围，充分开展师生、生生之间的交流与合作学习，引导学生通过持续的概括、分析、讨论、探索、假设、检验等高水平的思维活动，建构对知识的理解。
3．波利亚的数学教育思想源于两个基本观点：
（1）数学具有二重性，即数学既有演绎科学，又是归纳科学。
（2）人类的后代学习数学与人类的祖先认识数学的历史是相似的。
据此，波利亚创立了“数学教与学的三条原则”和“数学解题理论”。
波利亚认为：
学习任何东西的最好途径是自己去发现，为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己去发现要学习的材料（主动学习原则）；学习材料的生动性和趣味性是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的愉快是这种活动的最好报偿，所有最佳学习动机是“学生应当对所学习的材料感兴趣，并且在学习活动中找到乐趣”（最佳动机原则）；学生必须学习有序，教师教学要有层次（阶段渐进原则）。
随着新一轮课程改革的启动、新《数学课程标准》的颁布，新的教育理念也必将贯穿于教学实践，其中数学探究活动已成为贯穿整个初中数学课程始终的重要内容．数学探究活动能促进学生将原有知识和新知识有效地组合和沟通，使学生获得深切的感受与体验．数学变式的研究能帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯，提高类比推理的思维能力，点燃创新思维的火花．而“变式教学”和“变式训练”，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，建构有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔．用继承和发展的观点进行反思牞我们传统的教学确实存在着缺乏培养创新精神和探究能力的现象．现在，我国在校学生中不乏解题高手，我国选手历年参加国际奥林匹克数学竞赛，都取得了优异成绩，但在创造性地提出新问题、建立新理论方面都落后于国际平均水平．美籍华裔学者蔡金法先生曾对中美学生的数学能力做过一次调查．在第九届世界数学大会上，他介绍了自己的调研结果：
中国学生的计算能力和解决简单问题的能力方面，比美国学生好；在比较复杂、过程或结论具有开放性的数学问题和创造性地提出问题方面，美国学生的平均成绩比中国学生好．在实际课堂教学中也是如此，在课上、课下敢于提出和能够提出较新的、有一定深度和广度的数学问题的学生寥寥无几．所以我国传统的教学方式较难培养学生潜在的创新意识与创新能力，学生大多只停留在解决理解前人留下的东西，解决前人留下的疑问，即为解题，从未想过“越雷池一步”，缺乏因旧问题的解决而激发新问题产生的能力，即问题的演变。
其实，一种新的教学理论，只靠严谨的逻辑演绎是无法推导的，必须加上生动的思维再创造。
数学理论发展的历史证明，人们的直觉和“灵光一闪”的顿悟，往往已经得出了整个新理论的百分之七十，剩下的百分之三十则是逻辑与验证。
数学史上冠以某数学家名字的猜想、定理、法则，往往并无逻辑证明，逻辑推演是今人补做的，但人们仍把功劳归于提出新问题的首创者，英国富豪出百万美元悬赏“哥德巴赫猜想”的验证，仅仅是在已构造的理论大厦上添砖加瓦。
四、研究的构想
（一）概念间界定
变式教学是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变式形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。
变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。
变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。
变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。
通过变式方式进行技能与思维的训练叫做变式训练；采用变式方式进行教学叫做变式教学。
变式教学要求在课堂上通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，因此，变式教学有利于培养学生探究问题的能力，是“三”基教学、思维训练和创新能力培养的重要途径
（二）研究目标
1、通过变式教学，解决如何优化学生教学思维素质的问题。
2、通过变式教学，解决如何使学生贯通教学思想到问题。
3、通过变式教学，解决如何培养学生学习兴趣，提高教学效益，真正达到“轻负高质”的问题。
（三）研究的思路
笔者从1998年就开始了对本课题的研究与实际开展工作，并且已经积累了丰富的教学经验和相应的教学理论素养。
从2003年起在县教育局名师带徒中所带动徒弟中进行实践教学试点实验，先给徒弟们灌输变式教学的理论，传授笔者在实际中所积累的经验，并提供相应的教学资料，引导徒弟中积极开展变式教学课题的实施。
从而在桃源中学数学组全面展开本课题的实施工作，边实践、边摸索，边总结，以期达到预期的研究目标。
（四）研究的步骤
1、研究的方法：
⑴不同学校实验学生成绩对比分析法。
⑵同校平行班成绩对比分析法。
⑶个体调查法。
2、研究的步骤：
⑴准备阶段：
1996年9月—1998年11月，查阅与之相关的资料，学习有关理论，确定研究方向，制订研究计划。
⑵研究阶段：
第一期1998年12月～2003年笔者执行研究计划。
第二期2003年～2008年，桃源中学、西店中学、城关中学、跃龙中学各设两班试点执行研究计划。
⑶总结阶段：
2006年8月—2008年10月。
分析积累的数据和资料，总结提炼完成课题，撰写报告。
五、研究的操作策略
（一）、培养数学问题演变能力的策略
著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：
“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。
”教师教授数学问题时，培养学生思考问题、解决问题的目的是培养探索解决问题途径的能力，探索新事物的学习精神，提出更一般的、更广阔的、更深刻的新问题和建立新理论。
那么如何培养学生针对旧问题而提出新问题（问题演变）的能力？
1、夯实基础，沟通联系
数学基础知识，基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题，产生新问题的起点。
从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程和来龙去脉，从学生认知的最近发展区来设计问题，不是将公式简单地告诉学生，而是通过设计开放性问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得结论进行论证。
案例1.求证：
顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1、求证：
顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2、求证：
顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3、求证：
顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4、顺次连结什么四边形中点得到平行四边形。
变式5、顺次连结什么四边形中点得到矩形。
变式6、顺次连结什么四边形中点得到菱形等。
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大拓展了学生解题思路，活跃思维，激发兴趣。
案例2、圆台侧面积公式为π（R+r）l，当r=0时，即圆台体变形为圆锥体，即圆锥体侧面积公式为πRl；当R=r时，圆台体变形为圆柱体，圆柱体侧面积公式为2πRl。
这样，我们用整体的观点，站在更高的层次上，分析与研究知识之间的纵横关系、因果关系、演变关系，沟通不同知识间的内在联系，以知识为经，方法为纬，编织一个“知识网”，为进行数学问题演变奠定坚实的知识基础。
2、推陈出新，发展思维
丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，无“知”必无“能”，有“知”未必有“能”，要想知识和能力同步协调发展，教学中既要使学生掌握知识，更要使学生把握知识的产生“过程”，并从中吸取丰富的智力营养，尽力让学生体会到蕴藏在数学问题中的“生命”价值。
具体在数学活动中，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多层次、全方位去思考问题，寻求答案的优良思维品质，其基本特征是：
流畅性——能在短时间内表达较多的概念，反应迅速；变通性——思维方向灵活多样举一反三，触类旁通，能提出超常的构想或新观点；独创性——对事物的处理或判断表现出独特的见解，推陈出新。
3、掌握规律，建立技能
数学问题的演变是以基础问题为基本，并且要与学生的思维水平相适应，对学生的思维素质要求较高，但仍有一定的方法技巧可循，如何引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把碰到的数学问题，转化为熟悉的或容易解决的数学问题，变中求解，解中求变，以下流程图是可行的：
4、数学问题变式设计应注意的问题
前面，我们举例说明了数学问题变式的方法，但应当指出，问题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式。
其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用—理解—形成技能—培养能力”的认知过程。
因此，数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。
一般地，设计数学变式，应注意以下几个问题：
1、差异性。
设计数学问题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。
变式题组的题目之间要有明显的差异。
对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。
从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。
因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。
2、层次性。
所谓的问题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。
但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。
要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。
3、开阔性。
一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。
同样，设计数学问题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实。
因此，所选范例必须具有典型性：
一要注意知识的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性、深刻性。
4、灵活性。
根据教学内容和学生的实际情况，数学问题变式训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。
同时，根据数学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。
这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。
（二）、变式教学课堂的模式策略
1、概念课教学模式
（1）、模式框架
（2）、模式说明
变式教学概念课的教学模式，是一个以学生为中心，以学生自主创新学习为基础，以学生创新精神和创新素质的全面发展为目标的教学过程。
具体操作程序为：
“问题情境→探究新知→形成概念→变式深化→变式训练→总结升华”六个环节。
应当指出，上述六个环节可根据具体情况有所删减。
1、问题情境
新知来源于问题，所以创设问题情境应从概念的来源入手。
根据概念的来源，概念大致可分为两类：
一类是来源于生活、生产、科研等实际，也就是根据实际问题抽象出来的概念；一类是由已知概念得到的新概念。
在“问题情境”环节中，教师活动主要体现在：
根据概念类型、设计概念引入变式，将概念还原到客观实际（如实例、模型或已有经验、题组等）提出问题，为学生创设生动形象的教学情境，激发学生自主学习的内驱力。
所提问题要适当，既要符合教学大纲和教材的要求，又要符合学生的“最近发展区”。
学生活动主要表现在：
激发自主创新学习的情感，积极进行发现性学习。
学生在教师创设的特定情境中，从实践经验和原认知结构中提取与新知相关的旧知，发现新知、旧知间的联系。
2、探究新知
这是根据教师创设的问题情境，学生自主创新学习的过程。
它包括学生个体自主探究、小组相互讨论、集体相互讨论、师生相互释疑等自主创新的方式。
在“探究新知”环节中，教师活动体现在：
（1）教师的主导性。
当学生在自主探索过程中遇到困难时，教师应适当启发点拨，指导学生明确探究方向，充分挖掘学生自主创新的潜力。
教师要创造性地引导学生“探究”，鼓励学生“质疑”，激励学生“超越”，调动学生“选择不，以促进学生创造思维的发展，并形成教师与学生相互协作的新型师生关系。
（2）创设自主学习的氛围。
在学生自主学习、小组讨论、集体交流的过程中，教师既要了解学生所掌握的知识，又要观察学生的心理变化，创设平等、和谐、民主、宽松、愉快的学习氛围，让学生大胆质疑，勇于求异，敢于争辩。
学生活动体现在：
（1）学生自主创新学习。
展示学生寻找结论的过程，展示思维过程、探索过程的独特性、层次性和创造性。
（2）个体自主探究。
（3）小组相互探讨。
（4）集体相互交流。
3、形成概念
这是在学生充分探究、讨论的基础上，学生自主归纳、概括、抽象形成概念的过程。
在这一环节中，教师活动体现在：
对学生实施积极的和适度的鼓励性评价。
对抽象概念过程中出现差错的学生，要以宽容、谅解、和蔼的态度对待，允许再“想一想”，使学生获得成功的情感体验。
学生活动体现在：
（1）学生积极参与的状态。
学生在课堂上热情饱满，注意力集中，与老师和谐互动、双向交流。
（2）学生参与的广度。
人人参与，自由发表意见，充分体会成就感。
（3）自我评价与相互评价。
4、变式深化
在形成概念后，不应急于应用概念去解决问题，而应对概念作进一步的探讨，通过辨析变式和等价深化变式，使学生对概念有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。
在变式深化环节中，教师活动体现在：
（1）设计概念辨析变式题组，引导学生讨论、探究。
（2）设计概念等价深化变式，引导学生探索、发现。
可采用诱导、点拨、适度评价等方法。
学生活动体现在：
（1）积极调动原有知识，与新学概念进行比较、分析，逐步形成新的知识结构与知识系统。
（2）根据教师的引导，积极探索、发现新知。
通过自主思考、小组讨论等形式，对概念进行更深层次上的认识和把握。
5、变式训练
根据学习目标和学生交流中所反馈的信息，教师精心选编题目，并通过变式得到一组变式训练题组，让学生在解答、变式、探索中，深化对概念的理解，促进认知结构的内化过程。
在变式训练环节中，教师活动表现在：
根据知识之间的综合联系设计有针对性的问题，鼓励学生探求变式、求异求新，拓宽学生的知识视野，促进其创造性思维品质的形成。
学生活动表现在：
（1）自我探索。
针对训练题目，在多方位探求解法的基础上，通过探索题目变式及对变式问题的解决，理解新概念。
（2）公开表述。
通过小组讨论，集体交流，将个人学习成果贡献给大家，同时分享集体学习的成果，从中体验成功的快感，形成自主创新学习的动力。
6、总结升华
在完成上述各环节后，对课堂教学内容及方法作适当的总结，使学生对所学概念、方法的认识得以升华。
一是建立新知识的内在联系，并纳入原有知识新系统，形成知识结构，实现内化过程中的再建构；二是对研究问题的方法进行回顾、反思，使学生逐步掌握自主创新学习的方式方法，培养科学、严谨的研究态度，从而全面完成教学目标，逐步形成创新能力。
2、定理课教学模式
（1）、模式框架
（2）、模式说明
定理（公式）课教学模式的操作程序为：
“问题情境→探究猜想→验证论证→获得定理→变式深化→变式训练→总结升华”。
应当指出，上述七个环节可根据具体情况所有删减。
1、问题情境
与概念教学类似，在教授一个新的定理（公式）时，将其还原到客观实际之中，通过一些学生熟知的现实现象抽象、移植定理、公式的本质属性，或者通过题目变式，使学生在原有认知结构的基础上，循序渐进，促进旧知迁移形成新知。
在问题情境这一环节中，教师的活动表现在：
根据定理、公式特点，设计定理、公式的形成变式，为学生创设探索、猜想的学习环境。
学生的活动体现在：
激发自主创新学习的情感，积极进行发现性学习。
2、探究猜想
这是根据教师创设的问题情境，学生自主创新学习的过程。
在这一过程中，教师活动主要体现在：
（1）启发诱导。
当学生在探究、发现、猜想过程中产生思维障碍时，教师要及时给予点拨、引导，为学生指明探究方向。
（2）创设自主学习的氛围。
引导学生敢于探索，大胆猜测，形成猜想。
学生活动体现在：
（1）从实践经验和原有知识结构中提取相关知识，主动进行个体自主探究，探求新知。
（2）相互探讨和交流。
（3）大胆猜测，形成猜想。
3、验证论证
猜想得到的结论不一定是可靠的，学生对它半信半疑。
为了提高“猜想”的可信度，可以通过实验或演示等方法验证“猜想”，从而增强学生对新知的感性认识和进一步探索问题的积极性。
在验证的基础上，再引导学生给出探索猜想所得结论的理论证明。
在验证论证环节中，教师的活动体现在：
（1）点拨验证的方法（如数学作图、数据验算、理化实验、教具或实物演示等）。
（2）点拨论证的方法。
启发诱导学生对“猜想”实施证法变式，鼓励学生求新求异。
（3）适时作鼓励性评价。
学生的活动体现在：
（1）动脑动手，自主实验，验证猜想。
（2）自主探究“猜想”的条件与讨论。
（3）自主探索“猜想”的论证方法，给出完整的理论证明。
（4）相互交流，共享成果。
4、获得定理
给出“猜想”的严格理论证明后，学生从感性认识上升为理性认识，已完成了一个认知过程。
在获得定理环节中，教师的活动体现在：
给予学生鼓励性评价，唤起其继续探究的信心。
学生活动体现在：
（1）锤炼定理表述。
（2）对定理、公式主动识记。
5、变式深化
获得定理、公式后，不是急于应用定理、公式解决问题，而是对定理、公式作进一步探讨，通过语言变式、变形变式、逆向变式和推广变式，使学生对定理、公式有一个全方位的了角。
在变式深化环节中，教师活动体现在：
（1）引导学生对定理、公式进行语言变式。
（2）设计定理、公式变形变式、逆向变式、推广变式，引导学生探索、发现。
学生活动体现在：
（1）对定理、公式作语言变式，进行文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言的转换。
（2）主动探索
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