弹性力学答案清晰修改Word格式.doc

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其中的和分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入（e）的第三式得

等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。

因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有，，积分以后得，

代入（f）得位移分量

其中为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。

从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。

2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F，体力可以不计。

试根据材料力学公式，写出弯应力和切应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。

解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为，横截面对z轴（中性轴）的惯性矩为，根据材料力学公式，弯应力；

该截面上的剪力为，剪应力；

并取挤压应力

（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程

也能满足相容方程

再考察边界条件：

在的主要边界上，应精确满足应力边界条件：

，；

，。

能满足

在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：

满足应力边界条件。

在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：

满足应力边界条件

因此，他们是该问题的解答。

3-6如题3-6图所示的墙，高度为h，宽度为b，h»

b，在两侧面上受到均布剪力q的作用。

试用应力函数求解应力分量。

解

（1）相容条件：

将应力函数代人相容方程中，其中

，，很明显满足相容方程。

（2）应力分量表达式

，，

（3）考察边界条件：

在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件，即，。

在次要边界上，，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替

（4）把各应力分量代入边界条件，得，。

应力分量为，，

3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。

设（a）

不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。

（2）体力分量由应力函数得应力分量的表达式

（b）

（c）

（d）

利用边界条件确定待定系数

先考察主要边界上的边界条件：

，

将应力分量式（b）和式（c）代入，这些边界条件要求

，得A=0，B=0。

式（b）、（c）、（d）成为

（e）

（f）

（g）

根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是,在斜面上没有任何面力，即,按照一般的应力边界条件，有

将（e）、（f）、（g）代入得

（h）

（i）

由图可见，

，

代入式（h）、（i）求解C和D,即得，

将这些系数代入式（b）、（c）、（d）得应力分量的表达式

4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。

解

（1）应力函数，进行求解

由应力函数得应力分量

（2）考察边界条件：

根据对称性，得

（a）

（b）

（c）

（d）

由式（a）得（e）

由式（b）得（f）

由式（c）得（g）

由式（d）得（h）

式（e）、（f）、（g）、（h）联立求解，得

将以上系数代入应力分量，得

4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。

解本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。

当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求

，

由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求

由上式解得，（a）

把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，

（b）

（c）

式（c）中的取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。

所以，轴对称问题的径向位移式（b）为

而圆简是属于平面应变问题，故上式中代替，则有

此时内径改变为，

外径改变为

圆环厚度的改变为

4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为，，如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。

解求出两个主应力，即

原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。

应力分量，，代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件

（a）

（b）

在孔边，边界条件是

（c）

（d）

由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。

而

因此可假设。

（e）

将式（e）带入相容方程，得

删去因子以后，求解这个常微分方程，得，

其中A,B,C,D为待定常数，代入式（e），得应力函数

由应力函数得应力分量的表达式

将上式代入应力边界条件

由式（a）得（g）

由式（b）得（h）

由式（c）得（i）

由式（d）得（j）

联立求解式，并令,得

将各系数值代入应力分量的去达式，得

沿着孔边，环向正应力是

最大环向正应力为

4-17在距表面为h的弹性地基中，挖一直径为d的水平圆形孔道，设h》d，弹性地基的密度为，弹性模量为E，泊松比为，试求小圆孔附近的最大、最小应力。

解距地表为h处，无孔时的铅直应力，由水平条件，可得

x向为水平回形孔道的轴向，在横向y，z平面的主应力为，

（2）原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力,在上下两边受均布压力，如图（a）所示。

可以将荷载分解为两部分：

第一部分是四边的均布压力如图（b）所示，第二部分是左右两边的均布拉力和上下两边的均布压力如图（c）所示。

对于第一部分荷载，可应用解答

对于第二部分解答，可应用解答，教材中式（4-18）。

将两部分解答叠加，即得原荷载作用下的应力分量（基尔斯的解答）。

最大环向正应力为，

8-1设有任意形状的等截面杆,密度为，上端悬挂，下端自由。

如题8-1图所示，试考察应力分量是否能满足所有一切条件。

解按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程，满足相容方程；

并在边界上满足应力边界条件.

（l）很显然应力分量满足如下平衡徽分方程

（2），应力分量也满足贝尔特拉米相容方程

（3）考察应力边界条件：

柱体的侧面和下端面，。

.在平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为为任意的；

在下端面方向余弦分别为）。

应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式

直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足，因此，所给应力分是是本问题的解

8-2设有任意形状的空间弹性体，在全部边界上（包括在孔洞边界上）受有均布压力q,试证应力分量能满足一切条件，因而就是正确的解答。

解：

应力应满足平衡微分方程，相容方程及应力边界条件（在上），多连体还应满足位移单值条件。

（1）平衡条件，很显然，应力分量满足平衡微分方程

（2）相容条件：

，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程。

（3）应力边界条件。

考虑一般的应力边界条件：

法线的方向余弦为边界面为任意斜面，受到法向压力q的作用。

同样，满足应力的边界条件。

（4）位移单值条件，为了考虑多连体中的位移单值条件，由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。

将应力分量代人教材中式（7一12），得形变分量表达式

将形变分量代入几何方程，得

积分得位移分量的表达式

其中的分别是和和的待定函数，可以通过几何方程的后三个式子求出。

满足上述三个等式，只可能每个等式的左右两边等于同一个常数。

积分以后得

代入位移分量表达式得

其中分量分别表示位移和刚体转动，与形变无关。

多连体上各

个点的位移分量都是的线性函数，所以满足位移单值条件。