专题17 函数动点问题中平行四边形存在性原卷版九年级数学专题试题.docx

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专题17函数动点问题中平行四边形存在性原卷版九年级数学专题试题

专题17函数动点问题中平行四边形存在性

类型一、平行四边形存在性

结论：

类型二、特殊平行四边形存在性

1.矩形存在性

常用解题思路：

构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.

2.菱形存在性

常用解题思路：

利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.

3.正方形存在性

常用解题思路：

兼具矩形和菱形二者.

【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=

与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=

经过B、C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；

（3）在

（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3）.

（1）求抛物线的解析式与顶点M的坐标；

（2）求△BCM的面积与△ABC面积的比；

（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？

若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A（-1,0）,B（5,0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（3）点M是

（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=

图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.

【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．

（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．

（3）在

（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F，M，G，N为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-4,0），B（1,0），C（0,3），点P在抛物线上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC平分∠PMO，求t的值.

（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C、D、E、P为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出菱形的面积.

图1图2

1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2.（2019·开封模拟）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣

x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；

（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

4.（2019·名校模考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F

（1）求抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．

5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，3），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A（-2，0），与反比例函数

（x>0）的图象交于点B（a，4）.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数

（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.

7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=

x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；

（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．

图1图2

8.（2018·新乡一模）如图，一次函数

分别交y、x轴于A、B两点，抛物线

过A，B两点.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N.求当t取何值时，MN有最大值？

最大值是多少？

（3）在

（2）的情况下，以A，M、N、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标.

9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，直接写出该正方形的边长．

10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）.点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.

（1）求抛物线解析式；

（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.

11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数

的图象经过点A（4,0）,与y轴交于点B，在x轴上有一动点C（m,0）（0

（1）求a的值和直线AB的解析式；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；

（3）点H是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且平行四边形DEGH的周长取最大值时，求点G的坐标.

13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．

（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．

①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；

②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．

14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．