人教版八年级数学上册单元培优练习第十二章《全等三角形》Word文件下载.docx
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9.点O是△ABC中∠BCA,∠ABC的平分线的交点,已知△ABC的面积是12,周长是8,则点O到边BC的距离是( )
A.1B.2C.3D.4
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BD是∠ABC的角平分线交AC于点D,DE⊥AB于E点,下列四个结论中正确的有( )
①DE=DC;
②BE=BC;
③AD=DC;
④△BDE≌△BDC.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二.填空题
11.如图,△ABC平移得到△A'
B′C′,则 ≌ ,因此它们的对应边是 ,对应角是 .
12.如图,△ABC≌△AED,∠C=40°
,∠EAC=30°
,∠B=30°
,则∠D= .
13.AB是四边形ACBE的对角线,AB=AC,过点C作CD∥AE交BE于D.若AE=DE,∠ACD=45°
,BD=1,CD=5,则AE= .
14.如图,已知△ACF≌△DBE,∠E=∠F,AD=9cm,BC=5cm,AB的长为 cm.
15.如图,△ABC中,AD⊥BC于D要用“HL”定理判定△ABD≌△ACD,还需加条件 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=3,AB=10,则△ABD的面积是 .
17.如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动 秒时,△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.
三.解答题
18.如图,已知CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD.
(1)求证:
点D在∠BAC的平分线上;
(2)若把条件“BD=CD”与
(1)中的结论交换位置,所得到的命题是真命题吗?
请说明理由.
19.在△ABC中AB=AC,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,交AC、AB于点D、E.
(1)如图①,求证:
BD=CE;
(2)如图②,BD、CE交于点F,作AG∥CE交BD延长线于点G,若AE=CE,请直接写出图中与BE相等的线段.
20.如图,已知AB=AC,∠1=∠2=∠3,BE=EF,试说明BC=FC的理由.
解:
因为AB=AC,又∠1=∠2
所以AD⊥BC( )
所以∠ADC=90°
(垂直的意义)
因为∠ADC+∠2+∠ACD=180°
∠BEC+∠3+∠BCE=180°
( )
所以∠ADC+∠2+∠ACD=∠BEC+∠3+∠BCE
又∠2=∠3(已知)
所以∠BEC=∠ =90°
(等式性质)
因为∠BEC+∠FEC=180°
(邻补角的意义)
所以∠FEC=90°
所以∠BEC=FEC(等量代换)
在△BEC与△FEC中,
所以△BEC≌△FEC( )
得BC=FC( )
21.在△ABM中,∠ABM=45°
,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图1,若AM=3,MC=2,AB=3
,求△ABC中AB边上的高.
(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:
∠BDF=∠CEF.
22.如图,已知∠ABC=90°
,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.试说明:
(1)△ABP≌△AEQ;
(2)EF=BF.
23.已知射线AP是△ABC的外角平分线,AB<AC,连结PB、PC.
(1)如图1,若BP平分∠ABC,且∠ACB=30°
,请直接写出:
∠APB= ;
(2)如图2,若过点P作PM⊥BA交BA延长线于M点,且∠BAC=∠BPC,求:
的值.
参考答案
1.解:
A、如图:
AC=CD,BC=BC,∠B=∠B,但△BDC和△ABC不全等,故本选项错误;
B、△ABC的面积是
×
2×
1=1,△EFG的面积是
1×
2=1,但△ABC和△EFG不全等,故本选项错误;
C、当一个是底角是30°
,而另一个是顶角是30°
时,两等腰三角形不全等,故本选项错误;
D、根据HL即可得出结论,故本选项正确;
故选:
D.
2.解:
A、若AB=A'
B'
,BC=B'
C'
,∠B=∠B'
,根据SAS推出△ABC≌△AB′C′,故本选项正确;
B、根据ASA即可推出△ABC≌△AB′C′,故本选项错误;
C、根据AAS即可推出△ABC≌△AB′C′,故本选项错误;
D、根据SSS即可推出△ABC≌△AB′C′,故本选项错误.
A.
3.解:
∵AB=AC,AD是高,
∴BD=CD,又AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°
,
∴△ADB≌△ADC,
∴△ODC≌△ODB
同理有:
△COE≌△BOF、△AOC≌△AOB、△AOE≌△AOF、△CBE≌△BCF、△ACF≌△ABE.
共7对.
C.
4.解:
∵△ABC≌△ADC,∠BAC=60°
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ACD=23°
∴∠D=180°
﹣∠DAC﹣∠ACD=97°
B.
5.解:
如图,过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∵AD是它的角平分线,
∴DE=DF,
而S△ABD:
S△ADC=
AB•DE:
AC•DF
=AB:
AC
=4:
3.
6.解:
CD=DE,
∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=6cm.
7.解:
∵△ABC≌△ADE,
∴AE=AC,
∵AC=6cm,
∴AE=6cm.
8.解:
∵AF平分∠DAC,
∴∠CAF=∠EAF,
又∵AC=AE,AF=AF,
∴△ACF≌△AEF,
∴∠AEF=∠ACF,
又∵CD⊥AB,∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
=∠ACD+∠DAC,
∴∠B=∠ACD,
∴∠AEF=∠B=56°
9.解:
如图所示,过O作OE⊥AB,OF⊥AC,连接AO,
∵点O是△ABC中∠BCA,∠ABC的平分线的交点,
∴OE=OD=OF,
∵△ABC的面积是12,周长是8,
∴
AB×
OE+
BC×
OD+
AC×
OF=12,
即
8×
OD=12,
即OD=3,
10.解:
∵∠ACB=90°
,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DC,故①正确;
又∵∠C=∠BEC=90°
,BD=BD,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),故④正确;
∴BE=BC,故②正确;
∵Rt△ADE中,AD>DE=CD,
∴AD=DC不成立,故③错误;
二.填空题(共7小题)
11.解:
∵△ABC平移得到△A'
B′C′,
∴△ABC≌△A'
∴它们的对应边是:
AB=A'
,AC=A'
对应角是:
∠A=∠A'
,∠C=∠C'
.
故答案为:
△ABC,△A'
;
12.解:
△ABC中,∠C=40°
∵△ABC≌△AED,
∴∠D=∠C=40°
40°
13.解:
连接AD,过A分别作DC、BE的垂线,垂足分别为F、G,过E作EH⊥AD于H,
∵AE=DE,
∴∠ADE=∠DAE,
∵CD∥AE,
∴∠CDA=∠DAE,
∴∠ADE=∠CDA,
∵AG⊥BE,AF⊥CD,
∴AG=AF,
∵∠AGD=∠AFD=90°
,AD=AD
∴△AGD≌△AFD,
∴DG=FD,
∵∠AGB=∠AFC=90°
,AB=AC,
∴△AGB≌△AFC,
∴∠ABG=∠ACD=45°
∴∠FAC=45°
∴∠FAC=∠ACF,
∴AF=CF,
∵DC=DF+CF=DF+AF=DG+AG=5,
设DG=t,则AG=5﹣t,AG=BG=5﹣t,
∵BG=BD+DG=1+t,
5﹣t=1+t,
t=2,
∴DG=2,AG=3,
∴AD=
=
在△ADE中,AE=DE,EH⊥AD,
∴AH=
AD=
在Rt△AEH中,cos∠DAE=
在Rt△ADG中,cos∠ADE=
AE=
14.解:
∵△ACF≌△DBE,∠E=∠F,
∴CA=BD,
∴CA﹣BC=DB﹣BC,
即AB=CD,
∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4(cm),
∴AB=2(cm).
2.
15.解:
还需添加条件AB=AC,
∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
AB=AC.
16.解:
如图,作DE⊥AB于E,
由基本尺规作图可知,AD是△ABC的角平分线,
∵∠C=90°
,DE⊥AB,
∴DE=DC=3,
∴△ABD的面积=
DE=
10×
3=15,
15.
17.解:
①当P在线段BC上,AC=BP时,△ACB≌△PBN,
∵AC=2,
∴BP=2,
∴CP=6﹣2=4,
∴点P的运动时间为4÷
1=4(秒);
②当P在线段BC上,AC=BN时,△ACB≌△NBP,
这时BC=PN=6,CP=0,因此时间为0秒;
③当P在BQ上,AC=BP时,△ACB≌△PBN,
∴CP=2+6=8,
∴点P的运动时间为8÷
1=8(秒);
④当P在BQ上,AC=NB时,△ACB≌△NBP,
∵BC=6,
∴BP=6,
∴CP=6+6=12,
点P的运动时间为12÷
1=12(秒),
0或4或8或12.
三.解答题(共6小题)
18.
(1)证明:
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
又∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴D在∠BAC的平分线上;
(2)若把条件“BD=CD”与
(1)中的结论交换位置,所得到的命题是真命题,理由如下:
∵点D在∠BAC的平分线上,CE⊥AB,BF⊥AC,
∴DE=EF,
∴△BDE≌△CDF(ASA),
∴BD=CD.
19.解:
(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠DBC=
∠ABC=
∠ACB=∠ECB,
又∵BC=CB,
∴△BCD≌△CBE(ASA),
∴BD=CE;
(2)图中与BE相等的线段为BF,CF,CD,GD.
设∠BAC=α,
∵AE=CE,
∴∠ACE=∠BAC=α,
∵∠ABC=∠ACB,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABC=∠DBC=∠BCE=α,
∴∠BEF=2α=∠BFE,BF=CF,
∴BF=BE=CF,
由
(1)可得,CD=BE,
∵AG∥CE,
∴∠G=∠DFC=2α=∠DCB,
又∵∠ADG=∠BDC,AD=BD,
∴△ADG≌△BDC(AAS),
∴DG=DC,
∴BE=BF=CF=CD=GD.
20.解:
所以AD⊥BC(三线合一)
(三角形内角和定理)
所以∠BEC=∠ADC=90°
所以∠BEC=∠FEC(等量代换)
所以△BEC≌△FEC(SAS)
得BC=FC(全等三角形的对应边相等)
三线合一;
三角形内角和定理;
ADC;
SAS;
全等三角形的对应边相等.
21.解:
(1)∵∠ABM=45°
,AM⊥BM,
∴AM=BM=ABcos45°
=3,
∵MC=2,
∴BC=5,
∴AC=
∴△ABC中AB边上的高=
(2)延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.
∴△BMD≌△AMC(SAS),
∴AC=BD,
又∵CE=AC,
因此BD=CE,
∴△BFG≌△CFE(SAS),
故BG=CE,∠G=∠E,
所以BD=CE=BG,
因此∠BDG=∠G=∠E.
22.解:
(1)∵△ABE和△APQ是等边三角形,
∴AB=AE,AP=AQ,∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°
∴∠BAE﹣∠PAE=∠PAQ﹣∠PAE,
∴∠BAP=∠EAQ.
在△ABP和△AEQ中,
∴△QAE≌△PAB(SAS);
(2)∵△QAE≌△PAB
∴∠ABP=∠AEQ=90°
∴∠AEF=90°
∴∠ABP=∠AEF
∴∠ABP﹣∠AEB=∠AEF﹣∠ABE,
∴∠BEF=∠EBF,
∴BF=EF.
23.解:
(1)
∵AP平分∠DAC,PB平分∠ABC,
∴∠DAP=
∠DAC,∠ABP=
∠ABC,
∵∠DAC=∠ABC+∠ACB,∠DAP=∠ABP+∠APB,
∴∠APB=∠DAP﹣∠ABP=
∠DAC﹣
∠ACB=15°
15°
(2)过点P作PN⊥AC于N,
∵AP平分∠MAN,PM⊥BA,
∴PM=PN,
在Rt△APM与Rt△APN中,
∴Rt△APM≌Rt△APN(HL),
∴AM=AN,
∵∠BAC=∠BPC,
∴由“8字形”得:
∠MBP=∠PCN,
在△PMB与△PNC中,
∴BM=CN,
∵AM=AN,
∴AC﹣AB=2AM,