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DVD租赁优化方案

DVD租赁优化方案

西北工业大学王颖高德宏施恒

摘要

在线租赁是信息时代发展的必然趋势。

在租赁过程中，网络经营者主要关注的预测、购买和分配。

本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。

针对问题一，利用需求预测得到观看DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量（见文中表2、表3）.以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前30位

会员的分配结果（见文中表4）.在问题三中，我们考虑到60\%的会员由于两次租赁而导致可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来

网站拥有量小，并且会员的满意度达到99.38%（见文中表6、表7）.文章最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。

一、问题的重述

这是一个在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?

如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

2）题中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？

请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）假设题中表2DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

4）作为网站的经营管理人员，在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？

请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型进行解答。

二、模型假设及符号说明

1、基本假设

（1）以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；

（2）—个周期结束，所租赁出的DVD全部归还网站；

⑶会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度；

（4）会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回之后，才能进行第二次租赁；

（5）每个会员对同一种DVD只租赁一次；

（6）DVD在租赁过程中无损坏。

2、符号及说明

nj网站第j种DVD的购买量

Pj会员租赁第j种DVD的概率

j第i个会员是否租赁第j种DVD

Xj第i个会员是否租赁到第j种DVD

aj第i会员对第j种DVD的偏爱程度

bj第i个会员租赁到第j种DVD的满意度

yj网站是否为第i个会员购买第j种DVD

N网站会员数：

100000

三、问题的分析

问题一，要求网站提供的DVD能够满足他的会员至少有50嗨亡够在一个月内看到该DVD作为网站的经营者，希望购买到尽可能少的DVD。

根据历史数据，60%勺会员每月租赁两次，即一部分DVD有一定的流通周期，我们在考虑模型的时候先不考虑时间问题，将DVD全都看作是一月被租赁一次，然后根据流通周期以及它被租赁的概率，将所计算的结果按一定的比例减小。

问题二，这是一个优化分配问题。

根据各个会员对不同种DVD的偏爱程度，以及网站是否满足了他的要求，建立以满意度为目标函数，在DVD数量有限的情况下，对其进行合理的分配，使目标函数达到最大值。

我们综合考虑问题一和问题二，在此基础上分析问题三。

经营者要尽可能的减小成本，即每种DVD购买量尽可能的少的，同时，DVD的购买量要满足95%勺会员在一个月内能够看到自己想看的DVD要求会员的总体满意程度最大，也就是对确定数量的DVD进行优化分配。

此问题为一个双目标规划，即要求各种DVD数目最小的情况下，尽可能的使总体满意度最大。

四、模型的建立及求解:

1、问题一模型的建立及求解设随机变量

其中i=1,2,川，N.

匕表示第i个会员租赁第涨DVD

刁一〔0表示第i个会员不租赁第j张DVD

则随机变量j服从两点分布，即

（1）

P{ij=1}=Pj，P{j=0}二1-Pj

其中Pj的取值见表1.

表1会员租赁5种DVD的概率

DVD名称

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

第i张DVD

被租赁的概率

P1=0.2

P2=0.1

p3=0.05

p4=0.025

P5=0.01

N

设随机变量j二^ij，j=1,2^1,5，则j表示N个会员中租赁第j张DVD

i=1

的会员数，由于j（i=1,2jn,N）之间相互独立，因而j服从二项分布，即

同时可以得到:

E（j）二NPj,j=1,2,|||,5（3）

D（j）二NPj（1-Pj）,j"2山，5（4）

由于租赁的人数是随机的，因而为了满足至少50%勺租赁会员看到DVD网

站应该准备的DVD的数量也是随机的，为此我们以它的数学期望为应该准备的DVD的数量，即：

1

E（50%j^-E（j^50,000Pj,j=1,2,川,5（5）

如果以E（50%j）为该种DVD的准备量，则我们可以得到满足至少50%勺人

看到该DVD的概率为:

P50%}-E（j）

Ij2jJ

1

p」50%3-E（50%・）三尹⑺）-E（50%qj）

-JD（50%3）一JD（50%S）'

1

|50%^-EPj）

=P*i~-0

Jd（50%*）

其中约等式是由DeMoivre-Laplace中心极限定理得到

为了提高满足至少50%勺人看到该片的可靠度，我们需要改变提供的数量

设可以保证至少

到t=2.33,即卩：

50%勺人看到该片的可靠度为99%即①（t）=99%，由此可以得

50%j-E（50%j）

Pju2.33=99%（7）

[JD（50%\）J

50%j

1l

=50,000pj2.332,Npj（1-Pj）（8）

同时，由于60%勺会员每个月会租赁DVD两次，40%勺会员每个月会租赁DVD一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还，这样就可以满足

其他会员的租赁要求，但是因为该张DVD是被会员在一个月内第一次租赁，还是被会员在第二次租赁的情况是随机的，所以我们假设上述这两种情况是等可能的，所以该张DVD可以被再次利用的期望值为：

11

60%0=30%（9

22

由此我们可以得出：

只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。

综上所述，我们以99%的可靠度满足至少50%的租赁会员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为：

70%汇〔50,000Pj+2.33X*N~Pj・（1-Pj）（10）

代入相关数据，我们可以得到为了保证至少50%的人一个月内看到该DVD

网站需要准备该DVD的张数（见表2）。

表2网站为了保证至少50%勺人一个月内看到该DVD需要准备的张数

0名称

可靠卜\张薮〜

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

50%"

7,000

3,500

1,750

875

350

70%

7,024

3,518

1,763

885

356

80%

7,038

3,529

1,771

890

360

99%

7,104

3,578

1,807

916

375

为了保证在三个月内使得95%勺会员看到其所想要租赁的DVD，只需要提供1

一个月内使得95%勺会员看到其想要租赁的DVD总量的丄，这是因为三个月内

3

DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。

因而以99%的可靠度使得三个月内95%的人看到该DVD，网站应准备的张数为：

1x70%x1。

0,000><95%p+2.33乂0.95J100,000pfl—Pj）1（11）

3■——■

代入相关数据，我们可以得到为了保证至少95%勺人三个月内看到该DVD

网站需要准备该DVD的张数（见表3）。

表3网站为了保证至少95%勺人三个月内看到该DVD需要准备的张数

名称可靠度张数「

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

50%

4,434

2,217

1,109

555

222

70%

4,449

2,228

1,117

560

226

80%

4,458

2,235

1,122

564

228

99%

4,499

2,266

1,144

580

238

2、问题二模型的建立及求解:

其中Xi为一维行向量，表示对第i个会员的DVD分配情况。

其中aj表示第i个会员对第j张DVD勺偏爱程度。

Ai表示第i个会员对各类DVD

的偏爱程度。

由于aij的数字越大，表示偏爱程度越小，同时会员得到该DVD的满意度越

小，因而我们定义第i个会员对分配到第j张DVD的满意度为bj，即

1

aij—0

（14）

I—aij

0,

则会员的满意度矩阵为

案X的满意度为:

100

XiBi='Xijbij

jm

当第i个会员得到其偏爱程度为1、2和3的3张DVD时，他是最满意的，其

、1111满意度为1•-■-二一，由此可以得到第i个会员的标准化满意度为：

236

为了使会员总体满意度达到最大，得到目标函数:

在分配的过程中，每种DVD分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即:

（19）

1000

'Xj

iA

在一次分配中，每个会员获得3张DVD如果不够3张就视为分给该会员0

张DVD即:

100

0兰送X兰3,i=1,2,川，1000（20）

jm

综上得到该问题的数学模型为:

1000

stZXjSj,j=1,2,川，100

iA

100

0「Xj乞3,i=1,2,川,1000

jm

（21）

Xj取0或1,i=1,2,）|（,1000,j=1,2,川,100

根据上述模型，使用Lingo软件进行求解，结果如下:

目标函数的最大值为89.13%;

没有得到DVD人数为0;

得到1张DVD人数为6;

得到2张DVD人数为54;

得到3张DVD人数为940;

比率分别为0%,0.6%,5.4%,94%。

表4前30位会员获得DVD的情况

■名称客户、、分配

用户获得的

第1张DVD

（该张偏爱度）

用户获得的

第2张DVD

（该张偏爱度）

用户获得的

第3张DVD

（该张偏爱度）

C0001

D008

（1）

D041（7）

D098（3）

C0002

D006

（1）

D044

（2）

D062（4）

C0003

D032（4）

D050

（2）

D080

（1）

C0004

D007

（1）

D018

（2）

D041（3）

C0005

D011（3）

D066

（1）

D068

（2）

C0006

D019

（1）

D053

（2）

D066（4）

C0007

D008

（2）

D026（3）

D081

（1）

C0008

D031（4）

D035（5）

C0009

D053

（1）

D078（3）

D100

（2）

C0010

D055

（2）

D060

（1）

D085（3）

C0011

D059

（1）

D063

（2）

D066（4）

C0012

D002

（2）

D031

（1）

D041（7）

C0013

D021（3）

D078

（2）

D096

（1）

C0014

D023

（2）

D052

（1）

D029（6）

C0015

D013

（1）

D066（9）

D085（3）

C0016

D055（9）

D084

（1）

D097

（2）

C0017

D047

（2）

D051（3）

D067

（1）

C0018

D044

（1）

D060

（2）

D078（3）

C0019

D066（4）

D084

（1）

D086

（2）

C0020

D045

（1）

D061（3）

D089

（2）

C0021

D045

（2）

D050（5）

D053

（1）

C0022

D038（3）

D055

（2）

D057

（1）

C0023

D029

（2）

D081（3）

D095

（1）

C0024

D037（4）

D041

（2）

D076

（1）

C0025

D009

（1）

D069

（2）

D081（4）

C0026

D022

（1）

D068

（2）

D095（3）

C0027

D050（4）

D058

（1）

D078（7）

C0028

D008

（1）

D034

（2）

C0029

D026（4）

D030

（2）

D055

（1）

C0030

D037

（2）

D062

（1）

D098（5）

经计算，前30位会员的标准满意度为92.0%,获得3张DVD的比率为93.3%,也就是93.3%的会员能够得到他想看的DVD。

3、问题三模型的建立以及求解：

为了利用题目中表2给出的数据，给出一种合理的购买方案，我们分两次完成购买方案。

第一阶段购买方案：

人[1,表示针对第i个会员购买第j张DVD

令V・.=<

J0，表示不为第i个会员购买第j张DVD

记Y=（yi,i,Yi,i^ly,ioo），它表示针对第i个会员的需求所选取的购买方案,得到购买方案矩阵

-

'y1,1

y1,2

III

y1,100

「Y1

Y=

y2,1

y2,2

III

y2,100

%

■r

■r

+

V

*

■

a

i

■

=

■r

*

Y1000,1

Y1000,2

III

y1000,100

[

Y1000

因为有60%勺会员每月会租赁DVD两次，而另外40%勺会员每月只租赁一次，因此我们假设一个月会有两次订单，其中题目所给出的表2作为第一次订单，首先利用表2的数据给出第一阶段购买方案。

在购买中，保证95%勺会员得到他想看的DVD，即95%勺会员得到他订单中的3张，同时要使他们的满意度最大网站希望购买的DVD张数越少越好，基于上述要求，给出如下模型:

1000100

min二二yij

j4

1000100

二二yjbj

i4j4

•100

0辽yij兰3,i=1,2,川,1000

jA

100

Zy芒1,i=1,2,111,1000

j4

100

st握yH2,i=1,2,川,1000（23）

j二

1000100

送送yij兰1000汇95%汉3

i吕j=1

yij取0或1，i=1,2,川,1000,j=1,2,川,100

i

由上述目标函数及约束条件可以看到，这个整数规划有多个解，这些解是从1000个人中任取950人，对于950人中的每一个人选取其偏爱程度分别为1,2,3的三张DVD。

最后统计一下每张DVD被950人选为偏爱程度为1,2,3的总数，则可得到该张DVD购买的数目。

第二阶段购买方案：

网站为了满足95%勺人的需求，根据60%勺人本月内的第二次租赁订单，进行第二次购买。

题中没有给出60%勺人第二次租赁的订单，我们将利用题目中的表2,随机选取600（100060%）位会员的在线订单，作为第二次租赁订单。

为了便于数学符号上的处理，不失一般性，我们不妨选择1000会员中的前600

个会员的订单作为第二次订单。

因为这600个会员在第一阶段购买方案中已经满足了他们偏爱程度编号为1,2,3的DVD的需求，所以在第二次订单中他们偏爱程度编号为1,2,3的DVD的需求应记为0（否则，因为目标函数是满意度最大，所以最后得出的还是偏爱程度编号为1,2,3的DVD的需求），则第二

次订单中各会员相应的满意度为dj,

dj

Ibij,yij-0

0,yij1

其中i=1,2，H|,600,j=1,2,川,100，也就是说，如果第i个会员在第一次分配到第j张DVD寸，则在第二次分配中，第i个会员对第j张DVD的满意度为0

设乙=（Zi,1,Zi,2,IH,Zj,100）表示根据第二次租赁订单第i个人的需求网站采购

DVD碟片的方案。

则第二次购买DVD碟片方案矩阵为:

在第二次分配中，当第i个会员得到其偏爱程度为4、5和6的3张DVD寸,

、11137

他是最满意的，其满意度为—，由此可以得到第i个会员的标准45660

化满意度为：

60100

■6^xZjjdij,i=1,2」11,600

37j吕

为了使所有的会员获得比较大的满意度，只要使他们的满意度和达到最大,由此可以得到目标函数为：

网站在第二次确定购买方案时，一方面需要考虑第一步采购时所有的相关问题，同时还需要考虑第一次租赁后还回来的DVD的再次利用，因而可以得到如

下模型：

600100

min二二zij

i=1j珀

1600100maxzijdij

370匚…jj

100

s.t0兰送可兰3i,=1,12,,600

jm

100

'、zj-1,^1,2^1,600

jw

100

、Zij=2,i=12111,600

j」

600100

送送ZjK600汉95%汉3

i4j

Zj=0或1,i=12^,600,j“2,11,100（28）

此模型的解法类似于第一阶段购买方案模型的解法。

综上所述两步，则可以得到网站购买DVD数量的方案为：

"1000/600600\600600

Zy+QZij—送yijinZij兰瓦yij

7lidiA丿77

（29）

w：

-一---

j1000600600

''yij,、Zij：

：

：

'•yij

iJimi吕

其中j=1,2川|,100，wj表示网站购买第j张DVD的数量

在前面按照百分比（95%及60%）选取会员时，为了便于数学上的处理，我们选取了1000人中的前950人以及前600人这种处理方法过于简单，但由于这种选取方法的多样性，在数学记号以及计算上都会产生较大的复杂性。

因而为了避免这种复杂性以及前面处理方法的简单性，以下我们将用数学期望的办法解决购买方案问题。

设aj为1000名会员中第j张DVD偏爱程度为1,2和3的总人数，其中

a

j=1,2,Hl,100，则一L为会员租赁第j张DVD偏爱度为1,2和3的频率（概

1000

率的近似值）。

因而950人租赁第j张DVD偏爱度为1，2和3人数的均值为：

aj

950jaj95%,j-1,2jl|100（30）

1000

用类似的方法，我们也可以得到600人中选取第j张DVD偏爱程度为4,5或6人数的均值。

同时计算这600人中选取第j张DVD偏爱程度为1,2或3人数的均值，这个均值表示第j张DVD可以被重复利用，因而在购买时可以从第j张

DVD偏爱程度为4,5或6人数的均值中减去这些可以再次利用的数量。

这样按

照均值的方法，购买DVD的方案见表5（在均值情况下的购买总量为2996张）。

表5均值方法得到的购买方案

DVD

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

DVD6

DVD7

DVD8

DVD9

DVD10

购买量

26

34

30

36

26

31

29

31

33

29

DVD

DVD11

DVD12

DVD13

DVD14

DVD15

DVD16

DVD17

DVD18

DVD19

DVD20

购买量

29

29

27

29

26

35

33

29

30

35

DVD

DVD21

DVD22

DVD23

DVD24

DVD25

DVD26

DVD27

DVD28

DVD29

DVD30

购买量

32

29

33

27

27

29

28

24

25

38

DVD

DVD31

DVD32

DVD33

DVD34

DVD35

DVD36

DVD37

DVD38

DVD39

DVD40

购买量

33

33

29

29

34

32

26

30

28

27

DVD

DVD41

DVD42

DVD43

DVD44

DVD45

DVD46

DVD47

DVD48

DVD49

DVD50

购买量

48

35

30

33

38

27

29

27

29

32

DVD

DVD51

DVD52

DVD53

DVD54

DVD55

DVD56

DVD57

DVD58

DVD59

DVD60

购买量

38

26

29

26

29

33

28

27

31

32

DVD

DVD61

DVD62

DVD63

DVD64

DVD65

DVD66

DVD67

DVD68

DVD69

DVD70

购买量

27

32

30

35

31

36

31

33

32

31

DVD

DVD71

DVD72

DVD73

DVD74

DVD75

DVD76

DVD77

DVD78

DVD79

DVD80

购买量

34

32

23

29

27

24

26

30

29

29

DVD

DVD81

DVD82

DVD83

DVD84

DVD85

DVD86

DVD87

DVD88

DVD8