当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2，1＝1.按此规定，a1，3＝________；表中的25个数中，共有______个1；计算a1，1·ai，1＋a1，2·ai，2＋a1，3·ai，3＋a1，4·ai，4＋a1，5·ai，5的值为________．
a1，1
a1，2
a1，3
a1，4
a1，5
a2，1
a2，2
a2，3
a2，4
a2，5
a3，1
a3，2
a3，3
a3，4
a3，5
a4，1
a4，2
a4，3
a4，4
a4，5
a5，1
a5，2
a5，3
a5，4
a5，5
一、与数与式有关的规律探究
1．[2015·朝阳一模]一组按规律排列的式子：
，－，，－，，…，其中第7个式子是________，第n个式子是________（用含n的式子表示，n为正整数）．
二、与图形有关的规律探究
2．[2015·西城一模]如图Z1－5，数轴上点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：
第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是________，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是________．
图Z1－5
3．[2014·延庆县一模]如图Z1－6，点E，D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点，且BE＝CD，DB的延长线交AE于点F，则图①中∠AFB的度数为________；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为________．（用含n的代数式表示，其中，n≥3且n为整数）
图Z1－6
4．[2014·昌平区一模]已知：
四边形ABCD的面积为1.如图Z1－7①，取四边形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积为________；如图Z1－7②，取四边形ABCD各边的三等分点，则图中阴影部分的面积为________；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为________．
图Z1－7
三、平面直角坐标系中的规律探究
5．[2014·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：
y＝x，作A1（1，0）关于直线y＝x的对称点B1，将点B1向右平移2个单位得到点A2；再作A2关于直线y＝x的对称点B2，将点B2向右平移2个单位得到点A3；….请继续操作并探究：
点A3的坐标是________，点B2014的坐标是________．
6．[2015·房山一模]如图Z1－8，在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1（0，2）在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3.则点A1到x轴的距离是________，点A2到x轴的距离是________，点A3到x轴的距离是________．
图Z1－8
7．[2015·东城一模]在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x＋1为l.点A1是直线l与y轴的交点，以A1O为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图Z1－9所示的图形．则点B4的坐标是________，点Bn的坐标是________．
图Z1－9
8．[2014·丰台一模]如图Z1－10，已知直线l：
y＝x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于一点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此作法进行下去，点A4的坐标为（________，________）；点An的坐标为（________，________）．
图Z1－10
9．[2014·顺义一模]如图Z1－11，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，…均相距一个单位长度，则顶点A3的坐标为________，A31的坐标为________，A3n－2（n为正整数）的坐标为________．
图Z1－11
10．[2014·通州一模]如图Z1－12，在反比例函数y＝（x≥0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，Pn（n为正整数，且n≥1），它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n（n为正整数，且n≥1）．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分（近似看成三角形）的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn－1（n为正整数，且n≥2），那么S1＋S2＋S3＝________，S1＋S2＋S3＋S4＋…＋Sn－1＝________（用含有n的代数式表示）．
图Z1－12
11．[2014·燕山一模]如图Z1－13，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，…，这样依次得到线段OP3，OP4，…，OPn.则点P2的坐标为________；当n＝4m＋1（m为自然数）时，点Pn的坐标为________________．
图Z1－13
12．[2014·西城一模]如图Z1－14，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，点D的坐标为________；在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是________；保持上述运动过程，经过点（2014，）的正六边形的顶点是________．
图Z1－14
13．[2015·东城二模]如图Z1－15，已知A1，A2，…，An，An＋1在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn＋1＝1，分别过点A1，A2，…，An，An＋1作x轴的垂线交直线y＝x于点B1，B2，…，Bn，Bn＋1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn＋1，BnAn＋1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn，△A1B1P1，△A2B2P2，…，△AnBnPn的面积依次记为S1，S2，…，Sn，则S1＝________，Sn＝________．
图Z1－15
四、定义新运算
14．[2014·东城一模]现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：
3★5＝32－3×3＋5，根据定义的运算求2★（－1）＝________．若x★2＝6，则实数x的值是________．
15．[2015·燕山一模]定义：
对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝－1，－1的差倒数为＝.记a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2＝________，a2015＝________．
16．[2015·海淀一模]若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为________．
17．[2014·海淀一模]在一次数学游戏中，老师在A，B，C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，c0，记为G0＝（a0，b0，c0）．游戏规则如下：
若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，则游戏结束．n次操作后的糖果数记为Gn＝（an，bn，cn）．
（1）若G0＝（4，7，10），则第________次操作后游戏结束；
（2）小明发现：
若G0＝（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2014＝________．
18．[2015·海淀模拟]对于正整数n，定义F（n）＝，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：
F（6）＝62＝36，F（123）＝f＝12＋32＝10.
规定F1（n）＝F（n），Fk＋1（n）＝F（Fk（n））（k为正整数）．例如：
F1＝F＝10，F2（123）＝F（F1（123））＝F（10）＝1.
（1）求：
F2（4）＝________，F2015（4）＝________；
（2）若F3m（4）＝89，则正整数m的最小值是________．
19．[2015·海淀二模]五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：
在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图Z1－16，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为（7，5），则白子B的坐标为________；为了不让白方在短时间内获胜，此时黑方应该下在坐标为________的位置处．
图Z1－16
参考答案
北京真题体验
1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
2．（－3，1） （0，4） －1＜a＜1且0＜b＜2
[解析]∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（－3，1），A4（0，－2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2014÷4＝503……2，
∴点A2014的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；
∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（－b＋1，a＋1），A3（－a，－b＋2），A4（b－1，－a＋1），A5（a，b），
…，
以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴
解得－1＜a＜1，0＜b＜2.
3．－ － 0，－1 [解析]当a1＝2时，B1的纵坐标为b1＝，
B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2＝－，
A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2＝－，
B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3＝－，
A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3＝－3，
B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4＝2，
A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b2＝，
即当a1＝2时，a2＝－，a3＝－，a4＝2，a5＝－，
b1＝，b2＝－，b3＝－3，b4＝，b5＝－，
∵＝671，∴a2013＝a3＝－；
点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x≠0，
点A1不能在x轴上（此时A2在y轴上，找不到B2），即y＝－x－1≠0，
解得x≠－1.
综上可得a1不可取0，－1.
4．3或4 6n－3 [解析]如图：
当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为点（1，1），（1，2），（2，1），共三个点，
所以当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4.
当点B的横坐标为8时，n＝2，△AOB的内部（不包括边界）的整点个数m＝＝9.
当点B的横坐标为12时，n＝3，△AOB的内部（不包括边界）的整点个数m＝＝15.
所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m＝＝6n－3.
5．0 15 1 [解析]由题意当i＜j时，ai，j＝0，当i≥j时，ai，j＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．
由题意，很容易发现，从i与j之间大小关系分析：
当i＜j时，ai，j＝0；
当i≥j时，ai，j＝1，
∴a1，1·ai，1＋a1，2·ai，2＋a1，3·ai，3＋a1，4·ai，4＋a1，5·ai，5＝1×1＋0＋0＋0＋0＝1.
北京专题训练
一、与数与式有关的规律探究
1. （－1）n＋1· [解析]观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂、…、n次幂；分子的变化为：
2，5，10，17，…，n2＋1；分式符号的变化为：
＋，－，＋，－，…，（－1）n＋1.
∵＝（－1）2·，
－＝（－1）3·，
＝（－1）4·，
…
∴第7个式子是，
第n个式子为：
（－1）n＋1·.
二、与图形有关的规律探究
2．7 13 [解析]序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数以及A12表示的数，则可判断An与原点的距离不小于20时n的最小值．
第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数为1－3＝－2；
第2次点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为－2＋6＝4；
第3次点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4－9＝－5；
第4次点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为－5＋12＝7.
第5次点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7－15＝－8；
…
则点A7表示的数为－8－3＝－11，点A9表示的数为－11－3＝－14，A11表示的数为－14－3＝－17，A13表示的数为－17－3＝－20，
A6表示的数为7＋3＝10，A8表示的数为10＋3＝13，A10表示的数为13＋3＝16，A12表示的数为16＋3＝19，
所以如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13.
3．60° [解析]
（1）在①中的正三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠BCD＝120°，
又∵BE＝CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E＝∠D，
又∵∠FBE＝∠CBD，
∴∠AFB＝∠E＋∠FBE＝∠D＋∠CBD＝∠ACB＝60°.
由以上不难得到②中△AEB≌△BDC，进一步证出③中△BEF∽△BDC，
得出，②中∠AFB的度数等于∠DCB＝90°，同理可得③中∠AFB度数等于∠BCM＝108°.
（2）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出正n边形中，其他条件不变，则∠AFB的度数为.
4. 1－ [解析]如图①，连接AC，BD.
∵点A1，D1是边AB，AD的中点，
∴A1，D1是△ABD的中位线，
∴A1D1∥BD，A1D1＝BD，
∴△AA1D1∽△ABD，
∴＝＝，
∴S△AA1D1＝S△ABD.
同理，S△CB1C1＝S△BCD，S△BA1B1＝S△ABC，S△DD1C1＝S△ACD，
∴S阴影＝S四边形ABCD－（S△AA1D1＋S△CB1C1＋S△BA1B1＋S△DD1C1）＝1－（S△ABD＋S△BCD＋S△ABC＋S△ACD）＝1－S四边形ABCD＝1－＝.
如图②同理可得S阴影＝1－（S△ABC＋S△BCD＋S△ABC＋S△ACD）＝1－S四边形ABCD＝1－＝.
当取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点时，则
S阴影＝1－（S△ABD＋S△BCD＋S△ABC＋S△ACD）＝1－S四边形ABCD＝1－.
三、平面直角坐标系中的规律探究
5．（3，2） （2013，2014） [解析]根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．
如图所示：
点A3的坐标是（3，2），
∵B1（0，1），B2（1，2），B3（2，3），
∴B点横坐标比纵坐标小1，
∴点B2014的坐标是：
（2013，2014）．
故答案为：
（3，2），（2013，2014）．
6．3
7．（15，8） （2n－1，2n－1） [解析]根据一次函数，得出点A1，A2的坐标，继而得知B1，B2等点的坐标，从中找出规律，进而可求出Bn的坐标．
把x＝0代入y＝x＋1，可得y＝1，
所以可得点B1的坐标是（1，1）．
把x＝1代入直线y＝x＋1，可得y＝2，
所以可得点B2的坐标是（3，2），
同理可得点B3的坐标是（7，4）；点B4的坐标是（15，8）；
由以上得出规律是Bn的坐标为（2n－1，2n－1）．
[点评]本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
8．0 8 0 2n－1 [解析]已知直线y＝x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，可知B1点的坐标为（，1），
以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2，OA2＝OB1＝2OA1＝2，点A2的坐标为（0，2），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），
故点A3的坐标为（0，4），点A4的坐标为（0，8），
此类推便可求出点An的坐标为（0，2n－1）．
9．（0，1－） （－11，11） （－n，n） [解析]∵从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，
其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，…均相距一个单位长度，
∴A1A2＝2，A1E＝1，A1（－1，1），
∴EA3＝，则OA3＝－1，
则顶点A3的坐标为：
（0，1－）．
同理可得出：
A4（－2，2），A7（－3，3），…
∵4＝2×3－2，7＝3×3－2，10＝4×3－2，…，31＝11×3－2，
∴A31的坐标为：
（－11，11），
∴A3n－2（n为正整数）的坐标为（－n，n）．
10. 2－ [解析]当x＝1时，P1的纵坐标为4，
当x＝2时，P2的纵坐标为2，
当x＝3时，P3的纵坐标为，
当x＝4时，P4的纵坐标为1，
当x＝5时，P5的纵坐标为，
…
则S1＝×1×（4－2）＝1＝2－1；
S2＝×1×（2－）＝＝1－；
S3＝×1×（－1）＝＝－；
∴S1＋S2＋S3＝2－1＋1－＋－＝2－＝；
S4＝×1×（1－）＝＝－；
…
Sn－1＝－；
∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋Sn－1
＝2－1＋1－＋－＋…＋－
＝2－.
故答案为，2－.
11．（0，－4） （－·2n－1，·2n－1）（m为正奇数）或（·2n－1，－·2n－1）（m为0和正偶数） [解析]根据点P0坐标可求出OP0，然后分别求出OP1，OP2，OP3，OP4，…，OPn，再根据点P2在y轴负半轴上写出P2的坐标即可；分n是正奇数和n是0和正偶数两种情况确定出点Pn所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可，
∵P0的坐标为（1，0），∴OP0＝1.
∴OP1＝2，OP2＝2×2＝22，OP3＝22×2＝23，OP4＝23×2＝24，…，OPn＝2n－1×2＝2n.
∵每次旋转45°，点P0在x轴正半轴上，
∴点P2在y轴负半轴上．∴点P2的坐标为（0，－4）．
∵OPn为所在象限的平分线，
①m为正奇数时，点Pn在第二象限，
②m为0和正偶数时，点Pn在第四象限．
综上所述，点Pn的坐标为（－·2n－1，·2n－1）（m为正奇数），
（·2n－1，－·2n－1）（m为0和正偶数）
12．（4，0） 2 A或C [解析]∵点A（1，0），B（2，0），
∴OA＝1，OB＝2，
∴正六边形的边长为：
AB＝1，
∴当点D第一次落在x轴上时，OD＝2＋1＋1＝4，
此时点D的坐标为：
（4，0）．
如图所示：
当滚动到A′D⊥x轴时，E，F，A的对应点分别是E′，F′，A′，连接
A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，垂足分别为G，H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′F′G＝30°，
∴A′G＝A′F′＝，
同理可得：
HD＝，
∴A′D＝2，
∴在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是2.
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴A点从点（1，0）开始到点（2014，），正六边形正好滚动2013个单位长度．
∵＝335……3，
∴恰好滚动335周多3个，A′点的纵坐标为，
∴会过点（2014，）的是点A，
当点E在（2014，0）位置时，
则点F在（2015，0）位置，此时C点在E点的正上方，CE＝，所以C点也符
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