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数学考试答案doc

2014-2015高三数学（理科）试题月考2014年8月

I

・一、选择题（每题5分，共40分）

I

；1.已知。

是实数，吐■是纯虚数，则Q等于（B）

11-i

!

（A）-1（B）1（C）V2（D）-V2

!

[x=2+r,|\=2cos〃+l,

.2.已知直线小（/为参数）与圆C:

{宀.门（&为参数），则直线/的倾斜

I\y=-2-t[y=2sin/9

I角及圆心C的直角坐标分别是（C）

IA.—,（1,0）B.-,（-1,0）C.—,（1,0）D.-,（-1,0）

・4444

I

■71

I3.在极坐标系中，已知点P（2,—）,则过点PJ1平行于极轴的直线的方程是（A）

.6

・（A）psinO=i（b）psin0=\[3（C）pcos〃=l（d）pcosi?

=^3

I

j4.己知函数/（%）=%+/?

cos%,其中b为常数.那么“b=0”是“/⑴为奇函数”的（C）

|（A）充分而不必要条件

:

（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

]5.向量。

=（3,4）上=（兀,2）,若a-b=\a\}则实数x的值为（A）

IA.—1B.—C.—D.1

\23

I6.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p为24,则输出

1的弘S的值分别为（B）

IA.n=4,S=30B.«=5,5=30

IC.,1=4,5=45D.Z2=5,5=45

I7.将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相

等的概率是（B）

（A）2

（B）—

（C）1

（D）—

21

63

21

63

&如图，PC与圆O相切于点C,直线PO交圆O于43两点,

弦CD垂直AB于E.则下面结论中，错误的结论是（D）

••

A.\BECsADEAB.ZACE=ZACP

C.DE2=0E-EPD.PC2=PAAB

9.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如

图所示，则其侧视图的而积为（C）

V3V33I

A.B.C.—D.1

424

22

10.

已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线专■-+=1的右焦点重合，抛物线的准线与兀轴的交点为K,点A在抛物线上且\AK\=y/2\AF\,则的面积为（D）

二、填空题（每空5分，共30分）

9.已知数列l,q,g9是等差数列，数列1,勺,弘厶,9是等比数列，则一^的值为—丄a{+a210

10.

图中阴影部分的面积等于1.

11.某中学从4名男牛和3名女生小推荐4人参加社会公益活动，

若选岀的4人中既有男牛乂有女牛，则不同的选法共有34种

12.已知圆C：

疋+才_6兀+8=0,则圆心0的坐标为_（3,0）_；

伍若直线y=kx与圆C相切，一fl切点在第四彖限，贝

7TTT

13.已知函数/（x）=sin（2x+—）,其中xe[——,a].

66

1|7[冗

[-上,1]—;若/•（兀）的值域是[--,1],贝仏的取值范围是_[仝勺

2262

14.已知函数/（x）的定义域为R.若日常数c>0,XJVxgR,有・f（x+c）〉/（x—c）,

则称函数/（X）具有性质P.给定下列三个函数:

①/（x）=2‘；②/（X）=sinx；③/（x）=x3-x.

具中，具有性质P的函数的序号是①③•

（本小题满分14分）已知函数f（x）=a/3sin—cos—+cos

2222

的对边分别

为a.b.c•

（T）求/（X）的单调递增区间;

（II）若/（B+C）=l,d==l,求角C的人小.

■解:

（I）因为/（x）=V3sin—cos—4-cos2X

I22

cosx+11

=——sinx+

222

a/3.1

=——sinx+—cosx

22

"吩+自

TTTT、

乂y=sinx的单调递增区间为（2帧——,2£兀+—）,（keZ）22

TT"71Tl

所以令2kji——

262

解得2kn

33

27T71

所以函数・f（x）的单调增区间为（2匕一可,2竝+§）,（keZ）

（II）因为/（〃+C）=l,所以sin（B+C+^）=l,6

乂B+Cw（O,tt）,B+C+-g（-,—）

666

所以B+C+-=-,B+C=-f

623

所以心M

3

由正眩定理攀二沁

ba

把a=y/3,b=1代入，得到sinB=|

7T7T

又b

66

10分

12

13分

16.（本小题满分14分）如图，在菱形ABCD中，ZDAB=6Q\E是AB的中点，M4丄

平面ABCD,且在矩形ADNM中，AD=2,

AM=.

7

（I）求证：

AC丄BN；

（II）求证：

AN//平而MEC；（III）求二面角M-EC-D的大小.

解：

（I）连结BD,则AC丄BD.由已知LW丄平面ABCD,

因为DN^DB二D,

所以AC丄平IfilNDB2分

乂因为BNu平面NDB,

所以AC丄BN.4分

（II）CM与BN交于F,连结EF.

由己知可得四边形BCNM是平行四边形,所以F是的中点.

E

因为E是的中点，

乂EFu平面MEC,

AN平面MEC,

所以A/V//平面MEC.9分

（III）由于四边形ABCD是菱形，E是的中点，可得DE丄AB.

如图建立空间直角处标系D-xyz，则D（0,0,0）,E（V3,0,0）,C（0,2,0）,

C£=（V3,-2.0）,EM=（0-1,

10分

设平面MEC的法向量为n=（x,y,z）.

yfix-2y=0,所以<3>/7n

yz=0.

I7

令x=2.

所以n=（2,V3,^-）.

乂平而ADE的法向量zn=（0,0,1）,

所以cos=

mn_1m\\n\2

所以二面角M-EC-D的人小是60。

|17.（本小题满分14分）

・某中学举行了一次“环保知识竞赛〃，全校学生

I参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从

屮抽収了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为

100分）作为样本进行统计•请根据下血尚未完成

频率分布表

12分

14分

频率分布直方图

有局部污损的频分布表和频率分

总方图（如图所

示）解决下列问题:

组别

分组

频数

频率

第1组

[50,60）

8

0.16

第2组

[60,70）

a

8

第3组

[70,80）

20

0.40

第4组

[80,90）

釁

0.08

第5组

[90,100]

2

b

合计

9

（I）写出的值;

（II）在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来白同一组的概率；

（III）在（II）的条件下，设歹表示所抽取的2名同学中来白第5组的人数，求歹的分布

列及其数学期望.

解：

（I）山题意可知，a=\6.h=0.04,x=0.032,y=0.004•

（II）由题意可知，第4组有4人，第5组冇2人，共6人.

从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学屮随机抽取2名同学有

C；=15种情况.

设事件4：

随机抽取的2名同学来自同一组，则

P（A）=

7

15

7

所以，随机抽取的2名同学和同-纽的概率是瓦

（in）rti（II）可知，$的可能取值为0丄2,则

所以，$的分布列为

12分

2q12

所以’^=0xrlx-+2x-=-

13分

18.（木小题满分14分）

已知函数/（x）=a（x-丄）-21nx（awR）.

若求曲线y=f（x）在点（1/1））处的切线方程;

（III）

设函数g（x）=--•若至少存在一个x0e[l,e],使得/（x0）>^（x0）成立,求实数a的

x

取值范围.

j解：

函数的定义域为（0,+8）,

■“、Z11、2ax2-2x+a

IJ（x）=t/（l+—）——

1X"X

I（I）当a=2时，函数/（x）=2（x—丄）—21nx,/

（1）=0,广

（1）=2.■X

所以曲线y=f（x）在点（1J⑴）处的切线方程为y—0=2（兀一1）,

即2x-y-2=0.

（II）函数/（x）的定义域为（0,+oo）•

（1）当aSO时,h（x）=ax2-2x+a<0在（0,+8）上恒成立,

则f（x）<0在（0,+8）上恒成立,此时/⑴在（0，+oo）上单调递减.

（2）当d>0时，△=4一4/,

由ruxo,即/心）<0,得lzxEZ

所以函数/（羽的单调递增区间为（0,上』匕乞）和（1+Vi3^,+00）,aa

单调递减区间为（上』匚］1,1±』匚21）.

（ii）若a>\,h（x）>0在（0,+oo）.上恒成立，则广⑴10在（0,+oo）上恒成立，此时/⑴

在（0,+8）上单调递增.

（III））因为存在一个心e［l,e］使得/（x0）>^（x0）,

则axQ>2Inx0,等价于a>山％X。

对F（兀）求导，得F\x）="1_严）10分

因为当xe［l,e］时，r（x）>0,所以F⑴在［l,e］上单调递增.12分

所以尸（尢）罰=F

（1）=O,因此。

〉0•13分

另解：

设F（%）=/（x）-g（x）=ax-2inx,定义域为（0,+8）,

XX

依题意,至少存在一个x0e［l,e］,使得/Oo）〉g（Xo）成立,

j等价于当xw［l,e］时，F（x）miLK>0.9分

・

（1）当aS0吋，

!

F‘（兀）v0在［l,e］恒成立，所以F（x）在［l,e］单调递减，只要F（x）max=F（l）=a>0,

ImaX

・则不满足题意.10分

I

2

；

（2）当d〉0时，令F'（x）=0得兀=—.

Ia

于!

（i）当0即a>2时，

油Ia

在［l,e］上Fr（x）>0,所以F（%）在［l,e］上单调递增,所以F（x）max=F（e）=t/e-2,

2

由de—2〉0得，ci>—,

e

所以6/>2.

22

（ii）当一>e,即0一时，

ae

在［1,e］±Fr（x）<0,所以F（兀）在［l,e］单调递减,所以F（x）max=F（l）=a,

2

由ci>0得0<。

5—

e

22

（iii）当lv—ve,即一

ae

22

在［1,一）上（兀）vO,在（一,c］上尸（x）>0,

aa

22

所以F（x）在［1,—）单调递减，在（一,e］单调递增，

aa

11分

12分

F（x）nm>0,等价于F（l）>0或F（e）>0,解得d>0,

19.（本小题满分14分）

22

已知点4是椭圆C：

y+^-=l（/>0）的左顶点，岂线l:

x=my+l（meR）与椭圆C

相交于E,F两点，与用相交于点B.且当心0时，△停的面积为孕

（1）求椭圆C的方程；

（II）设直线AE,4F与直线兀=3分别交于M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B?

并请说明理由.

解：

（I）当加=0时，直线/的方程为兀=1,设点E在兀轴上方，

llK

8"+}=1'解得£（1,2^）,尸（1,_座］）,所以|EF二x=\33

所以椭圆C的方程为—+^-=1.

92

设£（西切）,尸（兀2』2），

..t-4m-16

则二乔莉⑷2二乔莉

%!

=my}+1,x2=my2+1.

同理得N（3,-d）.所以丽二（2,型-）,丽=（2,-型）,兀2+3兀］+3兀2+3

又因为BMBN=（2,空匚）•（2,卫工）

兀］+3x2+3

二4I36）小—|36）$

（兀］+3）（*2+3）（my{+4）（加旳+4）

_4（my}+4）（®2+4）+36yxy2加1卩2+4加01+力）+16

_—16（4莎+36）-16x4亦+16x4（2沪+9）

-32血$+16（2加$+9）

-64m2-576-64m2+128亦+576八

==0

9

所以丄BN,所以以MN为肓径的圆过点B.

|19.（本题15分）在四棱锥P-ABCD中，侧IfllPAD丄底面

・ABCD,ABCD为玄角梯形，BC//AD,ZADC=90°,

I

；BC=CD=-AD=\,PA=PD,E’F为AD’PC的屮点.

I2

|（I）求证：

刃//平面BEF\

（II）若PC^jAB所成角为45。

，求PE的长；

（Ill）在（I【）的条件下，求二面角尸-处吻的余弦值.

••13分

••…14分

20.（本题15分）为捉髙学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学牛“数独比赛”•比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学牛中随机抽収了30名学牛，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

成绩等级

A

B

C

D

E

成绩（分）

90

70

60

40

30

人数（名）

4

6

10

7

3

（I）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一]人，其成绩等级为“4或B”的概率；

!

（II）根据（I）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）屮任|选3人，记X表示抽到成绩等级为“4或B”的学生人数，求X的分布列及其数学・期望

I（III）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩Z差大于20分”的概率.

21.（本题15分）设函数f（x）=ax+cosx,xg[0,龙]・

（1）讨论/（兀）的单调性；

⑵设f（x）<1+sinx,求a的取值范围.