优化探究高三一轮人教A理科数学复习第8章平面解析几何课时作业9份89.docx

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优化探究高三一轮人教A理科数学复习第8章平面解析几何课时作业9份89

A组　考点基础演练

一、选择题

1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是（　　）

A．相交　　　　　　　　B．相切

C．相离D．不确定

解析：

由于直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1过定点（1,1），而（1,1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．

答案：

A

2．（2015年郑州模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（　　）

A.B.

C.D．10

解析：

设点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1>0，x2>0，设过A，B两点的直线方程为x＝my＋1，将x＝my＋1与y2＝4x联立得y2－4my－4＝0，y1y2＝－4，

则由

解得x1＝3，x2＝，故线段AB的中点到该抛物线的准线x＝－1的距离等于＋1＝，选B.

答案：

B

3．（2015年武汉调研）椭圆C：

＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

椭圆的左顶点为A1（－2,0）、右顶点为A2（2,0），设点P（x0，y0），则＋＝1，得＝－.而kPA2＝，kPA1＝，所以kPA2·kPA1＝＝－.又因为kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈.

答案：

B

4．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k（x－2）与此抛物线相交于P，Q两点，则＋＝（　　）

A.B．1

C．2D．4

解析：

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知，

|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则＋＝＋＝，联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝.故选A.

答案：

A

5．（2014年高考福建卷）设P，Q分别为圆x2＋（y－6）2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）

A．5B.＋

C．7＋D．6

解析：

设Q（cosθ，sinθ），圆心为M，由已知得M（0,6），

则|MQ|＝

＝

＝

＝

≤5，

故|PQ|max＝5＋＝6.

答案：

D

二、填空题

6．过点（0,1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________．

解析：

结合图形（图略）分析可知，满足题意的直线共有3条：

直线x＝0，过点（0,1）且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．

答案：

3条

7．（2015年辽宁五校联考）设点A1，A2分别为椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

解析：

由题设知∠OPA2＝90°，设P（x，y）（x>0），以OA2为直径的圆的方程为2＋y2＝，与椭圆方程联立，得x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间（0，a）上还有一实根，由此得0<

即0<<1，得e2>，所以e的取值范围为.

答案：

8．直线l：

x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值是________．

解析：

由得3x2＝2，

∴x＝±，

∴A，B，

∴|AB|＝.

设点C（cosθ，sinθ），则点C到AB的距离

d＝＝·≤，

∴S△ABC＝|AB|·d≤××＝.

答案：

三、解答题

9．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于2.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线y＝2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？

若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

解析：

（1）因为点P在椭圆上，所以－b≤yP≤b.

因此，当|yP|＝b时，△PF1F2面积最大，且最大值为|F1F2|·|yP|＝·2c·b＝bc＝2.

又离心率为，即＝.

由解得a2＝4，b2＝c2＝2.

所以椭圆的方程为＋＝1.

（2）假设直线y＝2上存在点Q满足题意，设Q（m,2）．

显然，当m＝±2时，从Q点所引的两条切线不垂直，

当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线l的斜率为k，则l的方程为y＝k（x－m）＋2.

由消去y整理得

（1＋2k2）x2－4k（mk－2）x＋2（mk－2）2－4＝0，

因为Δ＝16k2（mk－2）2－4（1＋2k2）[2（mk－2）2－4]＝0，

所以（m2－4）k2－4mk＋2＝0.（*）

设两切线的斜率分别为k1，k2，显然k1，k2是方程（*）的两根，

故k1k2＝＝－1，

解得m＝±，点Q坐标为（，2）或（－，2），

因此，直线y＝2上存在两点（，2）和（－，2）满足题意．

10.（2015年兰州模拟）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦点分别为F1（－1,0），F2（1,0），直线l：

x＝a2交x轴于点A，且＝2.

（1）试求椭圆的方程；

（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

解析：

（1）由题意，||＝2c＝2，A（a2,0），

∵＝2，∴F2为AF1的中点，

∴a2＝3，b2＝2，

即椭圆的方程为＋＝1.

（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|＝2·＝，此时|MN|＝2a＝2，四边形DMEN的面积S＝＝4.同理，当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S＝＝4.

当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：

y＝k（x＋1），代入椭圆方程消去y得：

（2＋3k2）x2＋6k2x＋（3k2－6）＝0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则

∴|x1－x2|＝＝，

∴|DE|＝|x1－x2|＝，

同理|MN|＝＝，

∴四边形的面积S＝＝··＝.

令u＝k2＋，得S＝＝4－，

∵u＝k2＋≥2，当k＝±1时，u＝2，S＝，

且S是以u为自变量的增函数，∴≤S＜4.

综上可知，≤S≤4.故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为.

B组　高考题型专练

1．设过原点的直线l与抛物线y2＝4（x－1）交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求：

（1）直线l的方程；

（2）|AB|的长．

解析：

（1）设直线l：

y＝kx，抛物线的焦点为F（2,0），则

⇒k2x2－4x＋4＝0.

Δ＝16－16k2＞0⇒－1＜k＜1.①

当k＝0时，l与x轴重合，不合题意．

∴k≠0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝，

∵AF⊥BF，

∴·＝0（或用kAF·kBF＝－1），

又＝（2－x1，－y1），＝（2－x2，－y2），

得k2x1x2＋x1x2－2（x1＋x2）＋4＝0，

代入得k＝±满足①，∴l：

y＝±x.

（2）由

（1）求解得x1＋x2＝8，x1x2＝8，

|AB|＝＝4.

∴弦AB的长为4.

2．（2015年海淀模拟）已知椭圆G：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆G右焦点F的直线m：

x＝1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．

（1）求椭圆G的方程；

（2）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，请判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．

解析：

（1）由题意得c＝1，

由＝可得a＝2，

所以b2＝a2－c2＝3，

所以椭圆的方程为＋＝1.

（2）由题意可得点A（－2,0），M，

所以由题意可设直线l：

y＝x＋n，n≠1.

设B（x1，y1），C（x2，y2），

由得x2＋nx＋n2－3＝0.

由题意可得Δ＝n2－4（n2－3）＝12－3n2＞0，

即n∈（－2,2）且n≠1.

x1＋x2＝－n，x1x2＝n2－3.

因为kMB＋kMC＝＋＝＋＝1＋＋

＝1＋＝1－＝0，

所以直线MB，MC关于直线m对称．

3.（2015年南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知过点的椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）若点B的坐标为，试求直线PA的方程．

（3）记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yMyN是否为定值？

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

解析：

（1）由题意，得2a＝＋＝4，即a＝2，

又c＝1，∴b2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）∵B，∴P，又F（1,0），∴kAB＝，

∴直线AB：

y＝（x－1），

联立方程，解得A（0，－），

∴直线PA：

y＝－x－，即x＋4y＋4＝0.

（3）当kAB不存在时，易得yMyN＝－9，

当kAB存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则P（－x2，－y2），

∴＋＝1，＋＝1，

两式相减，得＝－，

∴＝－＝kPA·kAB，令kAB＝k＝，则kPA＝－，

∴直线PA：

y＋y2＝－（x＋x2），

∴yM＝－（x2＋4）－y2，

∴yM＝－－y2，

∵直线PB：

y＝·x，

∴yN＝，

∴yMyN＝－3×－，

又∵＋＝1，∴4y＝12－3x，

∴yMyN＝－3×＝－9，

∴yMyN为定值－9.

4．（2014年高考四川卷）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：

OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

②当最小时，求点T的坐标．

解析：

（1）由已知可得

解得a2＝6，b2＝2，

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

（2）①由

（1）可得，F的坐标是（－2,0），设T点的坐标为（－3，m）．

则直线TF的斜率kTF＝＝－m.

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得（m2＋3）y2－4my－2＝0，

其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝.

所以PQ的中点M的坐标为.

所以直线OM的斜率kOM＝－，

又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，

因此OT平分线段PQ.

②由①可得，

|TF|＝，

|PQ|＝

＝

＝

＝.

所以＝

＝≥＝.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．

所以当最小时，T点的坐标是（－3,1）或（－3，－1）.