24.3正多边形和圆教案Word格式.doc

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一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？

其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：

1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；

正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴AB=BC=CD=DE=EF

又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC

∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD

∴∠A=∠B

同理可证：

∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

分析：

要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：

如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°

，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a

在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a

利用勾股定理，可得边心距

OM==a

∴所求正六边形的面积=6×

×

AB×

OM=6×

a×

a=a2

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：

正五边形的中心角∠AOB==72°

，

如图，∠AOC=30°

，OA=AB÷

sin36°

=1.5÷

≈2.55（cm）

画法

（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．

（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．

三、巩固练习

教材P115练习1、2、3P116探究题、练习．

四、应用拓展

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：

这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？

如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．

（1）由AB·

CG=AC·

BC得h==4.8

（2）∵h=且DN=x

∴NF=

则S四边形DEFN=x·

（4.8-x）=-x2+10x

=-（x2-x）

=-[（x-）2-]

=-（x-2.4）2+12

∵-（x-2.4）2≤0

∴-（x-2.4）2+12≤12且当x=2.4时，取等号

∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

∴BE==1.8

∵BM=1.85，∴BM>

EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．

∵当x=2.4时，DE=5

∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：

正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．

3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P117复习巩固1综合运用5、7P1188．

2．选用课时作业设计．

课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60°

B．45°

C．30°

D．22．5°

（1）

（2）（3）

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．

A．36°

B．60°

C．72°

D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（）

A．18°

B．36°

D．144°

二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°

，∠B=15°

，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°

，那图中△OAB的边长AB是______；

△ODA的周长是_______；

∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：

四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE·

BM，若AB=4，求BE的长．

答案:

一、1．C2．C3．D

二、1．a22．3．r3r60°

三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，

则OM⊥BC于M，OM=a，

连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=a，∠EOM=45°

，OE=a，

∵EN=a，EF=2EN=a，∴S正方形=a2．

2．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，

由题意得：

2a=6，∴a=3．

如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，

过O作OD⊥AB，垂足为D，

则OD=r6，则∠DOA==30°

，AD=AB=，

在Rt△ABC中，OD=r6=cm，

∴S=6·

ar6=×

3×

6=cm2．

3．略

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