(打印)数学二次根式提高题与常考题和培优题-文档格式.doc
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第4个等式：
a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：
an= ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
18．计算2﹣的结果是 ．
19．计算（+）（﹣）的结果等于 ．
20．化简：
（0＜a＜1）= ．
21．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是 ．
22．已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有 对．
23．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= ．
24．已知x+y=，x﹣y=，则x4﹣y4= ．
25．已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y= ．
26．已知是正整数，则实数n的最大值为 ．
27．三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣= ．
28．若实数m满足=m+1，且0＜m＜，则m的值为 ．
29．计算下列各式的值：
；
．
观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= ．
30．观察下列各式：
=11+3×
1+1，=22+3×
2+1，=32+3×
3+1，猜测：
= ．
三．解答题（共10小题）
31．计算
（1）﹣4+÷
（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．
32．若1＜a＜2，求+的值．
33．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．
34．先化简，再求值：
，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．
35．
（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；
（2）已知a＞0，b＞0且（+）=3（+5）．求的值．
36．观察下列各式及其验证过程：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．
37．先化简，再求值：
（+）÷
，其中a=+1．
38．求不等式组的整数解．
39．阅读与计算：
请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：
如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：
如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
40．已知：
y=++，求﹣的值．
二次根式提高题与常考题型压轴题（含解析）
参考答案与试题解析
1．（2017春•启东市月考）二次根式中x的取值范围是（ ）
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3﹣x≥0且x≠0，求出即可．
【解答】解：
要使有意义，必须3﹣x≥0且x≠0，
解得：
x≤3且x≠0，
故选B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出3﹣x≥0且x≠0是解此题的关键．
2．（2017春•萧山区校级月考）计算：
【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．
﹣=2﹣=．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2017春•嵊州市月考）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为=4cm，
=2cm，
∴AB=4cm，BC=（2+4）cm，
∴空白部分的面积=（2+4）×
4﹣12﹣16，
=8+16﹣12﹣16，
=（﹣12+8）cm2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
4．（2016•呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（ ）
【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．
∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
原式=|x﹣3|+
=|x﹣3|+|x﹣1|
=3﹣x+x﹣1
=2．
故选D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：
一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；
当a=0时，=0；
当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．
2、性质：
=|a|．
5．（2016•南充）下列计算正确的是（ ）
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
6．（2016•杭州）下列各式变形中，正确的是（ ）
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．
A、x2•x3=x5，故此选项错误；
B、=|x|，正确；
C、（x2﹣）÷
x=x﹣，故此选项错误；
D、x2﹣x+1=（x﹣）2+，故此选项错误；
B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2016•巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；
C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；
【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2016•营口）化简+﹣的结果为（ ）
【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．
+﹣=3+﹣2=2，
【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．
9．（2016•安徽校级自主招生）已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（ ）
【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．
∵ab＞0，
∴a=a×
=﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键．
10．（2016•邯郸校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（ ）
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．
∵﹣
=﹣
=
==，
∴a的小数部分=﹣1；
=，
∴b的小数部分=﹣2，
∴﹣=
=．
【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；
解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
11．（2016•柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方后移到根号内约分即可得解．
根据被开方数非负数得，﹣＞0，
解得a＜0，
﹣a==．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据被开方数大于等于0求出a的取值范围是解题的关键，也是本题最容易出错的地方．
12．（2016•杨浦区三模）如果=2a﹣1，那么（ ）
【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．
∵=|1﹣2a|=2a﹣1，
∴1﹣2a≤0，
a≥．
故选D
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
13．（2016•临朐县一模）已知：
【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
a===2+，
b===2﹣，
A、ab=（2+）×
（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；
B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；
C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；
D、∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，
∴a2≠b2，故本选项错误；
【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
14．（2017•静安区一模）如果代数式有意义，那么x的取值范围为 x＞﹣2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
由题意得，x+2＞0，
解得，x＞﹣2，
故答案为：
x＞﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
15．（2016•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
由数轴可得：
a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．
16．（2016•聊城）计算：
= 12 ．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
=3×
÷
=3
=12．
12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（2016•黄石）观察下列等式：
an= =﹣；
；
（2）a1+a2+a3+…+an= ﹣1 ．
【分析】
（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：
an==﹣；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
（1）∵第1个等式：
∴第n个等式：
（2）a1+a2+a3+…+an
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
=﹣1．
故答案为=﹣；
﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
18．（2016•哈尔滨）计算2﹣的结果是 ﹣2 ．
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可．
原式=2×
﹣3
=﹣3
=﹣2，
﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化简与同类二次根式合并．
19．（2016•天津）计算（+）（﹣）的结果等于 2 ．
【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
原式=（）2﹣（）2
=5﹣3
=2，
2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
20．（2016•博野县校级自主招生）化简：
（0＜a＜1）= ﹣a ．
【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可．
=|a﹣|．
∵0＜a＜1，
∴a2﹣1＜0，
∴a﹣=＜0，
∴原式=|a﹣|=﹣（a﹣）=﹣a．
﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简．
21．（2016•绵阳校级自主招生）如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是 x≤10 ．
【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得a的值，根据被开方数是非负数，可得答案．
由最简二次根式与可以合并，得
3a﹣8=17﹣2a．
解得a=5．
由有意义，得
20﹣2x≥0，解得x≤10，
x≤10．
【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a的方程是解题关键．
22．（2016•温州校级自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有 7 对．
【分析】A，B只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数．
15只能约分成3，5
那么A，B只能是15n2
先考虑A这边：
①，那么B可以这边可以是1或者，
此时有：
（15，60），（15，15），（60，15），
②，只能B这边也是，
（60，60），
③，那么B这边也只能是，
∴2×
（+）=1，
（240，240）
④的话，那么B这边只能是，那么2（+）=1，
（135，540），（540，135）．
综上可得共有7对．
7．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据题意分别讨论及的取值．
23．（2016•福州自主招生）对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32 ．
【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．
∵a*b=﹣a，
∴2*x=﹣2，
∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，
32
【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．
24．（2016•黄冈校级自主招生）已知x+y=，x﹣y=，则x4﹣y4= ．
【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得x2﹣y2，可求得答案．
∵x+y=，x﹣y=，
∴（x+y）2=x2+2xy+y2=（）2=+，（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2=（）2=﹣，
∴x2+y2=，
又x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=（）（）==1，
∴x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=，
【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和x2﹣y2的值是解题的关键．
25．（2016•黄冈校级自主招生）已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y= 1 ．
【分析】把已知条件两边平方，整理可得到x+y﹣2，结合x、y均为有理数，可求得x、y的值，可求得答案．
∵=﹣，
∴（）2=（﹣）2，即2﹣3=x+y﹣2，
∴x+y﹣2=2﹣=+﹣2，
∵x，y为有理数，
∴x+y=+，xy=×
，
由条件可知x＞y，
∴x=，y=，
∴x﹣y=1，
1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，由条件求得x、y的值是解题的关键．
26．（2016春•固始县期末）已知是正整数，则实数n的最大值为 11 ．
【分析】根据二次根式的意义可知12﹣n≥0，解得n≤12，且12﹣n开方后是正整数，符合条件的12﹣n的值有1、4、9…，其中1最小，此时n的值最大．
由题意可知12﹣n是一个完全平方数，且不为0，最小为1，
所以n的最大值为12﹣1=11．
【点评】主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
27．（2016•山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣= 2m﹣10 ．
【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可．
∵三角形的三边长分别为3、m、5，
∴2＜m＜8，
∴﹣=m﹣2﹣（8﹣m）=2m﹣10．
2m﹣10．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系．
28．（2016•武侯区模拟）若实数m满足=m+1，且0＜m＜，则m的值为 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于m的等式即可得出答案．
∵=m+1，且0＜m＜，
∴2﹣m=m+1，
m=．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．
29．（2016•龙岩模拟）计算下列各式的值：
观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102016 ．
【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案．
=10；
=100=102；
=1000=103；
=10000=104，
可得=102016．
102016．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题关键．
30．（2016•丹东模拟）观察下列各式：
= 20112+3×
2011+1 ．
【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案．
由题意可得：
=20112+3×
2011+1．
20112+3×
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键．
31．（2017春•临沭县校级月考）计算
（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
（1）原式=3﹣2+
=3﹣2+2
=3；
（2）原式=1﹣5+1+2+5
=2+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：
先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
32．（2017春•沂源县校级月考）若1＜a＜2，求+的值．
【分析】根据a的范围即可确定a﹣2和a﹣1的符号，然后根据算术平根的意义进行化简求值．
∵1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，a﹣1＞0．
则原式=+
=+
=﹣1+1
=0．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=|a|是关键．
33．（2017春•启东市月考）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．
【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：
，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．
∵，
∴．
∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，
∴
解得
∵有意义的条件是x≥y，
∴取x=5，y=﹣4，
【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．
34．（2016•锦州）先化简，再求值：
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．
=÷
=×
x=﹣3﹣（π﹣3）0，
4﹣﹣1，
=2﹣﹣1，
把x=﹣1代入得到：
==．即=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
35．（2016•湖北校级自主招生）
（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；
（1）由二次根式有意义的条件可知x≥2013，然后化简得=2012，由算术平方根的定义可知：
x﹣2013=20122，最后结合平方差公式可求得答案．
（2）根据单项式乘多项式的法则把（+）=3（+5）进行整理，得出a﹣2﹣15b=0，再进行因式分解得出（﹣5）（+3）=0，然后根据a＞0，b＞0，得出﹣5=0，求出a=25b，最后代入要求的式子约分即可得出答案．
（1）∵x﹣2013≥0，
∴x≥2013．
∴x﹣2012+=x．
∴=2012．
∴x﹣2013=20122．
∴x=20122+2013．
∴x﹣20132=20122﹣20132+2013
=﹣（2012+2013）+2013
=﹣2012．
（2）∵（+）=3（+5），
∴a+=3+15b，
∴a﹣2﹣15b=0，
∴（﹣5）（+3）=0，
∵a＞0，b＞0，
∴﹣5=0，
∴a=25b，
∴原
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