北京各区初三期末题几何综合汇总Word文档下载推荐.docx
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②小军通过观察、实验,提出猜想:
点D在AC边上运动的过程中,
(1)中的值不变.小军把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了求的值的几种想法:
想法1:
过点O作OF⊥AB交BC于点F,要求的值,需证明△OEF∽△ODA.
想法2:
分别取AC,BC的中点H,G,连接OH,OG,要求的值,需证明△OGE∽△OHD.
想法3:
连接OC,DE,要求的值,需证C,D,O,E四点共圆.
......
请你参考上面的想法,帮助小军写出求的值的过程(一种方法即可);
(3)若(n≥2且n为正整数),则的值为(用含n的式子表示).
图2
图1
6.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°
,点P为△ABC内一点.
(1)连接PB,PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B,C,P的对应点
分别为点D,A,E,连接CE.
①依题意,请在图2中补全图形;
②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长.
(2)如图3,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.
小慧的作法是:
以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°
得到△AMN,那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值,连接CN,当点P落在CN上时,此题可解.
请你参考小慧的思路,在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN.
并直接写出当AC=BC=4时,PA+PB+PC的最小值.
7.在等边△ABC中,E为BC边上一点,G为BC延长线上一点,过点E作∠AEM=60°
,交∠ACG的平分线于点M.
(1)如图
(1),当点E在BC边的中点位置时,通过测量AE,EM的长度,猜想AE与EM满足的数量关系是;
(2)如图
(2),小晏通过观察、实验,提出猜想:
当点E在BC边的任意位置时,始终有AE=EM.小晏把这个猜想与同学进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
在BA上取一点H使AH=CE,连接EH,要证AE=EM,只需证△AHE≌△ECM.
找点A关于直线BC的对称点F,连接AF,CF,EF.(易证∠BCF+∠BCA+ACM=180°
,所以M,C,F三点在同一直线上)要证AE=EM,只需证ΔMEF为等腰三角形.
将线段BE绕点B顺时针旋转60°
,得到线段BF,连接CF,EF,要证AE=EM,只需证四边形MCFE为平行四边形.
请你参考上面的想法,帮助小晏证明AE=EM.(一种方法即可)
8.已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,点P是AC的中点.
(1)当∠A=30°
且点M、N分别在线段AB、BC上时,∠MPN=90°
,请在图1中将图形补充完整,并且直接写出PM与PN的比值;
(2)当∠A=23°
且点M、N分别在线段AB、BC的延长线上时,
(1)中的其他条件不变,请写出PM与PN比值的思路.
9.在等边△ABC中,E是边BC上的一个动点(不与点B,C重合),∠AEF=60°
,EF交△ABC外角平分线CD于点F.
(1)如图1,当点E是BC的中点时,请你补全图形,直接写出的值,并判断AE与EF的数量关系;
(2)当点E不是BC的中点时,请你在图
(2)中补全图形,判断此时AE与EF的数量关系,并证明你的结论.
图1图2
10.在△ABC中,∠B=45°
,∠C=30°
.
(1)如图1,若AB=5,求BC的长;
(2)点D是BC边上一点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°
,
得到线段AE.
①如图2,当点E在AC边上时,求证:
CE=2BD;
②如图3,当点E在AC的垂直平分线上时,直接写出的值.
图3
11.已知:
△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,点D是边AB上的一点,过C,D两点的⊙O分别与边CA,CB交于点E,F.
(1)若点D是AB的中点,
①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹,不写作法);
②如图2,连结EF,若EF∥AB,求线段EF的长;
③请写出求线段EF长度最小值的思路.
(2)如图3,当点D在边AB上运动时,线段EF长度的最小值是_________.
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D是△ABC内一动点(不包括△ABC的边界),连接AD.将线段AD绕点A顺时针旋转90°
,得到线段AE.连接CD,BE.
(1)依据题意,补全图形;
(2)求证:
BE=CD.
(3)延长CD交AB于F,交BE于G.
①求证:
△ACF∽△GBF;
②连接BD,DE,当△BDE为等腰直角三角形时,请你直接写出AB:
BD的值.
备用图
【2017.1海淀期末】1.
(1)150,-----------------------------------------------------1分
.----------------------------------3分
(2)如图,作°
,使,连接,.过点A作AD⊥于D点.
∵°
即,
∴.
∵AB=AC,,
∴.--------------------------------4分
∴,°
.
∵AD⊥,
∴°
.
∴在Rt中,.
∴.∵°
∴°
∴.--------------------------------------------------------------------------------6分
(3).---------------------------------------------------------------7分
【2017.1西城期末】2.解:
(1)证明:
在Rt△ABC中,
∵CD是斜边AB上的中线.
∴CD=AB.
在△ABF中,点M,N分别是边AF,BF的中点,
∴MN=AB,
∴CD=MN.
(2)答:
CN与EN的数量关系CN=EN,
CN与EN的位置关系CN⊥EN. 3分
证明:
连接EM,DN,如图.
与
(1)同理可得CD=MN,EM=DN.
在Rt△ABC中,CD是斜边AB边上的中线,
∴CD⊥AB.
在△ABF中,同理可证EM⊥AF.
∴∠EMF=∠CDB=90°
∵D,M,N分别为边AB,AF,BF的中点,
∴DN∥AF,MN∥AB.
∴∠FMN=∠MND,∠BDN=∠MND.
∴∠FMN=∠BDN.
∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN.
∴∠EMN=∠NDC.
∴△EMN≌△DNC.
∴CN=EN,∠1=∠2.
∵∠1+∠3+∠EMN=10°
∴∠2+∠3+∠FMN=90°
∴∠2+∠3+∠DNM=90°
,即∠CNE=90°
∴CN⊥EN. 5分
(3)EN的最大值为,最小值为. 7分
【2017.1东城期末】3.解:
(1)OE=OF.…………1分
(2)补全图形如右图.…………2分
OE=OF仍然成立.…………3分
延长EO交CF于点G.
∵AE⊥BP,CF⊥BP,
∴AE∥CF.
∴∠EAO=∠GCO.
又∵点O为AC的中点,
∴AO=CO.
∵∠AOE=∠COG,
∴△AOE≌△COG.
∴OE=OF.…………5分
(3)或.…………7分
【2017.1石景山期末】4.
(1).……………1分
(2)补全图形,如图1所示.……………2分
结论成立.
证明:
连接,,,如图2.
∵△是等边三角形,
∴.
∵,,分别是边,,的中点,
∴.
又∵△是等边三角形,
∴,.
∴.
∴△≌△.………………………………4分
∴.………………………………5分
(3)的长为1或2.………………………………7分
【2017.1朝阳期末】5.解:
(1).
(2)①如图.
②法1:
如图,过点O作OF⊥AB交BC于点F,
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°
∴∠AOD=∠FOE.
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°
∴∠A=∠OFE.
∴△OEF∽△ODA.
∵O为AB边中点,
∴OA=OB.
在Rt△FOB中,tanB=,
∴
∴.
法2:
如图,分别取AC,BC的中点H,G,连接OH,OG,
∴OH∥BC,OH=,OG∥AC.
∴∠OHD=∠OGE=90°
∴∠HOG=90°
.
∴∠HOD+∠DOG=∠DOG+∠GOE=90°
∴∠HOD=∠GOE.
∴△OGE∽△OHD.
∵tanB=,
∴
∵OH=GB,
∴
法3:
如图,连接OC,DE,
,∠DOE=90°
∴DE的中点到点C,D,O,E的距离相等.
∴C,D,O,E四点共圆.
∴∠ODE=∠OCE.
∴OC=OB.
∴∠B=∠OCE.
∴∠ODE=∠B.
(3).
【2017.1昌平期末】6.解:
(1)①如图1………………………1分
②如图2,连接BD、CD
∵△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE
∴BC∥AD且BC=AD
∵∠ACB=90°
∴四边形BCAD是矩形………………………2分
∴CD=AB=6
∵BP=3
∴DE=BP=3
∵BP⊥CE,BP∥DE
∴DE⊥CE………………………3分
∴在Rt△DCE中,
CE=………………………4分
(2)证明:
∵以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°
得到△AMN.
∴△AMN≌△ABP,
∴MN=BP,PA=AM,∠PAM=60°
∴△PAM是等边三角形.
∴PA=PM
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN……………………6分
当AC=BC=4时,PA+PB+PC=.……………………8分
【2017.1怀柔期末】7.
(1)相等;
…………1分
(2)想法一:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=60°
.…………2分
∵AH=CE,∴BH=BE.
∴∠BHE=60°
∴AC//HE.∴∠1=∠2.……………………………3分
在△AOE和△COM中,∠ACM=∠AEM=60°
∠AOE=MOE,
∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.……………………………5分
∵∠BHE=60°
∴∠AHE=120°
∵∠ECM=120°
.∴∠AHE=∠ECM.……………………………6分
∵AH=CE,∴△AHE≌△ECM(AAS).
∴AE=EM.……………………………7分
(或根据一线三等角证△ABE∽△ECO,得∠BAE=∠CEM,
再证∠AHE=∠ECM,得△AHE≌△ECM(ASA))
想法二:
∵在△AOE和△COM中,
∠ACM=∠AEM=60°
∠AOE=∠COM,
∴∠EAC=∠EMC.……………………………3分
又∵对称△ACE≌△FCE,
∴∠EAC=∠EFC,AE=EF.…………5分
∴∠EMC=∠EFC.
∴EF=EM.∴AE=EM.…………7分
想法三:
∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°
∴可证△ABE≌△CBF(SAS).…………………2分
∴∠1=∠2AE=CF.…………………3分
∵∠AEM=∠CBA=60°
∴∠1=∠CEM.∴∠2=∠CEM.∴EM//CF.…………4分
∵∠CBF=60°
BE=BF,∴∠BEF=60°
∴∠MCE=∠CEF=1200.∴CM//EF.…………………5分
∴四边形MCFE为平行四边形.
∴CF=EM.∴AE=EM.…………………7分
【2017.1门头沟期末】8.
(1)补充图形正确……………………………………………1分
……………………………………………2分
(2)作出示意图……………3分
思路:
在Rt△ABC中,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于点F………………………4分
由PF⊥BC和∠ABC=90º
可以得到,∠PFC=90º
进而得到
∠A=∠FPC;
由∠PFC=∠AEP=90º
AP=PC可以得到
△AEP≌△PFC,进而推出AE=PF;
由点P处的两个直角可以得到∠EPM=∠FPN,
进而可以得到△MEP∽△NPF,由此可以得到=
等量代换可以得到;
在Rt△AEP中
可以得到………………7分
【2017.1通州期末】9.解:
(1)
……………………..(1分)
;
……………………..(2分)
AE与EF的数量关系为AE=EF……………………..(3分)
(2)连接AF,EF与AC交于点G.
在等边△ABC中,CD是它的外角平分线.
∠ACF=60°
=∠AEF,
∠AGE=∠FGC,
△AGE∽△FGC……………………..(5分)
∠AGF=∠EGC
△AGF∽△EGC……………………..(6分)
∠AFE=∠ACB=60°
△AEF为等边三角形
AE=EF……………………..(7分)
【2017.1延庆期末】10.
(1)如图1中,过点A作AH⊥BC于H.
∴∠AHB=∠AHC=90°
,
在Rt△AHB中,∵AB=5,∠B=45°
∴BH=ABcosB=5,
AH=ABsinB=5,
在Rt△AHC中,∵∠C=30°
∴AC=2AH=10,CH=ACcosC=5,
∴BC=BH+CH=5+5. ………………………………3分
(2)①证明:
如图1中,过点A作AP⊥AB交BC于P,连接PE,
∴△ABD≌△APE,
∴BD=PE,∠B=∠APE=45°
∴∠EPB=∠EPC=90°
∵∠C=30°
∴CE=2PE,
∴CE=2BD. …………………………5分
③…………………………6分
【2017.1大兴期末】11.
(1)
①…………………………………2分
②如图,连结CD,FD
∵AC=6,BC=8,AB=10
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°
∴EF是⊙O的直径……………………………3分
∵D是AB中点
∴DA=DB=DC=5
∴∠B=∠DCB,
∵EF∥AB
∵∠CDF=∠CEF
∴∠A=∠CDF
∵∠A+∠B=90°
∴∠CDF+∠DCB=90°
∴∠CFD=90°
∴CD是⊙O的直径
∴EF=CD=5………………4分
③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°
所以,EF是⊙O的直径.
由于CD是⊙O的弦,
所以,有EF≥CD,
所以,当CD是⊙O的直径时,EF最小…………6分图3
(2).………………………………………………8分
17