北京各区初三期末题几何综合汇总Word文档下载推荐.docx
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②小军通过观察、实验，提出猜想：
点D在AC边上运动的过程中，
（1）中的值不变.小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：
想法1：
过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA.
想法2：
分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD.
想法3：
连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E四点共圆.
......
请你参考上面的想法，帮助小军写出求的值的过程（一种方法即可）；
（3）若（n≥2且n为正整数），则的值为（用含n的式子表示）.
图2
图1
6．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°
，点P为△ABC内一点．
（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点
分别为点D，A，E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．
（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
小慧的作法是：
以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°
得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．
请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．
并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．
7．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM=60°
，交∠ACG的平分线于点M.
（1）如图
（1），当点E在BC边的中点位置时,通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是；
（2）如图
（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：
当点E在BC边的任意位置时，始终有AE=EM.小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
在BA上取一点H使AH=CE，连接EH，要证AE=EM，只需证△AHE≌△ECM.
找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF.（易证∠BCF+∠BCA+ACM=180°
，所以M，C，F三点在同一直线上）要证AE=EM，只需证ΔMEF为等腰三角形.
将线段BE绕点B顺时针旋转60°
，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE=EM，只需证四边形MCFE为平行四边形.
请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE=EM.（一种方法即可）
8.已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
，点P是AC的中点.
（1）当∠A=30°
且点M、N分别在线段AB、BC上时，∠MPN=90°
，请在图1中将图形补充完整，并且直接写出PM与PN的比值；
（2）当∠A=23°
且点M、N分别在线段AB、BC的延长线上时，
（1）中的其他条件不变，请写出PM与PN比值的思路.
9．在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°
，EF交△ABC外角平分线CD于点F.
（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出的值，并判断AE与EF的数量关系；
（2）当点E不是BC的中点时，请你在图
（2）中补全图形，判断此时AE与EF的数量关系，并证明你的结论.
图1图2
10．在△ABC中，∠B=45°
，∠C=30°
．
（1）如图1，若AB=5，求BC的长；
（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°
，
得到线段AE．
①如图2，当点E在AC边上时，求证：
CE=2BD；
②如图3，当点E在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．
图3
11.已知：
△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F.
（1）若点D是AB的中点，
①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②如图2,连结EF，若EF∥AB,求线段EF的长;
③请写出求线段EF长度最小值的思路.
（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是_________.
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°
，AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界），连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°
，得到线段AE．连接CD，BE．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：
BE=CD．
（3）延长CD交AB于F，交BE于G．
①求证：
△ACF∽△GBF；
②连接BD，DE，当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：
BD的值．
备用图
【2017.1海淀期末】1．
（1）150，-----------------------------------------------------1分
．----------------------------------3分
（2）如图，作°
，使，连接，．过点A作AD⊥于D点．
∵°
即，
∴．
∵AB=AC，，
∴.--------------------------------4分
∴，°
．
∵AD⊥，
∴°
.
∴在Rt中，.
∴．∵°
∴°
∴．--------------------------------------------------------------------------------6分
（3）．---------------------------------------------------------------7分
【2017.1西城期末】2．解：
（1）证明：
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线．
∴CD=AB．
在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，
∴MN=AB，
∴CD=MN．
（2）答：
CN与EN的数量关系CN=EN，
CN与EN的位置关系CN⊥EN． 3分
证明：
连接EM，DN，如图．
与
（1）同理可得CD=MN，EM=DN．
在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，
∴CD⊥AB．
在△ABF中，同理可证EM⊥AF．
∴∠EMF=∠CDB=90°
∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，
∴DN∥AF，MN∥AB．
∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．
∴∠FMN=∠BDN．
∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．
∴∠EMN=∠NDC．
∴△EMN≌△DNC．
∴CN=EN，∠1=∠2．
∵∠1+∠3+∠EMN=10°
∴∠2+∠3+∠FMN=90°
∴∠2+∠3+∠DNM=90°
，即∠CNE=90°
∴CN⊥EN． 5分
（3）EN的最大值为，最小值为. 7分
【2017.1东城期末】3.解：
（1）OE=OF.…………1分
（2）补全图形如右图.…………2分
OE=OF仍然成立.…………3分
延长EO交CF于点G.
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF.
∴∠EAO=∠GCO.
又∵点O为AC的中点，
∴AO=CO.
∵∠AOE=∠COG，
∴△AOE≌△COG.
∴OE=OF.…………5分
（3）或.…………7分
【2017.1石景山期末】4．
（1）.……………1分
（2）补全图形，如图1所示.……………2分
结论成立.
证明：
连接，，，如图2.
∵△是等边三角形，
∴.
∵，，分别是边，，的中点，
∴.
又∵△是等边三角形，
∴，.
∴.
∴△≌△.………………………………4分
∴.………………………………5分
（3）的长为1或2.………………………………7分
【2017.1朝阳期末】5.解：
（1）.
（2）①如图.
②法1:
如图，过点O作OF⊥AB交BC于点F，
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°
∴∠AOD=∠FOE.
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°
∴∠A=∠OFE.
∴△OEF∽△ODA.
∵O为AB边中点，
∴OA=OB.
在Rt△FOB中，tanB=，
∴
∴.
法2:
如图，分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，
∴OH∥BC，OH=，OG∥AC.
∴∠OHD=∠OGE=90°
∴∠HOG=90°
.
∴∠HOD+∠DOG=∠DOG+∠GOE=90°
∴∠HOD=∠GOE.
∴△OGE∽△OHD.
∵tanB=，
∴
∵OH=GB，
∴
法3:
如图，连接OC，DE，
，∠DOE=90°
∴DE的中点到点C，D，O，E的距离相等.
∴C，D，O，E四点共圆.
∴∠ODE=∠OCE.
∴OC=OB.
∴∠B=∠OCE.
∴∠ODE=∠B.
（3）.
【2017.1昌平期末】6．解：
（1）①如图1………………………1分
②如图2，连接BD、CD
∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE
∴BC∥AD且BC=AD
∵∠ACB=90°
∴四边形BCAD是矩形………………………2分
∴CD=AB=6
∵BP=3
∴DE=BP=3
∵BP⊥CE，BP∥DE
∴DE⊥CE………………………3分
∴在Rt△DCE中，
CE=………………………4分
（2）证明：
∵以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°
得到△AMN.
∴△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°
∴△PAM是等边三角形.
∴PA=PM
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN……………………6分
当AC=BC=4时，PA+PB+PC=．……………………8分
【2017.1怀柔期末】7．
（1）相等；
…………1分
（2）想法一：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC,∠B=60°
.…………2分
∵AH=CE,∴BH=BE.
∴∠BHE=60°
∴AC//HE.∴∠1=∠2.……………………………3分
在△AOE和△COM中,∠ACM=∠AEM=60°
∠AOE=MOE,
∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.……………………………5分
∵∠BHE=60°
∴∠AHE=120°
∵∠ECM=120°
.∴∠AHE=∠ECM.……………………………6分
∵AH=CE,∴△AHE≌△ECM（AAS）.
∴AE=EM.……………………………7分
（或根据一线三等角证△ABE∽△ECO,得∠BAE=∠CEM,
再证∠AHE=∠ECM,得△AHE≌△ECM（ASA））
想法二：
∵在△AOE和△COM中,
∠ACM=∠AEM=60°
∠AOE=∠COM,
∴∠EAC=∠EMC.……………………………3分
又∵对称△ACE≌△FCE,
∴∠EAC=∠EFC,AE=EF.…………5分
∴∠EMC=∠EFC.
∴EF=EM.∴AE=EM.…………7分
想法三：
∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°
∴可证△ABE≌△CBF（SAS）.…………………2分
∴∠1=∠2AE=CF.…………………3分
∵∠AEM=∠CBA=60°
∴∠1=∠CEM.∴∠2=∠CEM.∴EM//CF.…………4分
∵∠CBF=60°
BE=BF,∴∠BEF=60°
∴∠MCE=∠CEF=1200.∴CM//EF.…………………5分
∴四边形MCFE为平行四边形.
∴CF=EM.∴AE=EM.…………………7分
【2017.1门头沟期末】8.
（1）补充图形正确……………………………………………1分
……………………………………………2分
（2）作出示意图……………3分
思路：
在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F………………………4分
由PF⊥BC和∠ABC＝90º
可以得到，∠PFC＝90º
进而得到
∠A＝∠FPC；
由∠PFC＝∠AEP=90º
AP=PC可以得到
△AEP≌△PFC，进而推出AE=PF；
由点P处的两个直角可以得到∠EPM＝∠FPN，
进而可以得到△MEP∽△NPF，由此可以得到＝
等量代换可以得到；
在Rt△AEP中
可以得到………………7分
【2017.1通州期末】9.解：
（1）
……………………..（1分）
；
……………………..（2分）
AE与EF的数量关系为AE=EF……………………..（3分）
（2）连接AF，EF与AC交于点G.
在等边△ABC中，CD是它的外角平分线.
∠ACF=60°
=∠AEF，
∠AGE=∠FGC，
△AGE∽△FGC……………………..（5分）
∠AGF=∠EGC
△AGF∽△EGC……………………..（6分）
∠AFE=∠ACB=60°
△AEF为等边三角形
AE=EF……………………..（7分）
【2017.1延庆期末】10.
（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∴∠AHB=∠AHC=90°
，
在Rt△AHB中，∵AB=5，∠B=45°
∴BH=ABcosB=5，
AH=ABsinB=5，
在Rt△AHC中，∵∠C=30°
∴AC=2AH=10，CH=ACcosC=5，
∴BC=BH+CH=5+5． ………………………………3分
（2）①证明：
如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PE，
∴△ABD≌△APE，
∴BD=PE，∠B=∠APE=45°
∴∠EPB=∠EPC=90°
∵∠C=30°
∴CE=2PE，
∴CE=2BD． …………………………5分
③…………………………6分
【2017.1大兴期末】11.
（1）
①…………………………………2分
②如图,连结CD，FD
∵AC=6，BC=8，AB=10
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴EF是⊙O的直径……………………………3分
∵D是AB中点
∴DA=DB=DC=5
∴∠B=∠DCB，
∵EF∥AB
∵∠CDF=∠CEF
∴∠A=∠CDF
∵∠A+∠B=90°
∴∠CDF+∠DCB=90°
∴∠CFD=90°
∴CD是⊙O的直径
∴EF=CD=5………………4分
③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°
所以，EF是⊙O的直径.
由于CD是⊙O的弦,
所以，有EF≥CD，
所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小…………6分图3
（2）.………………………………………………8分
17
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