北京市西城区初三二模数学试题及答案Word文件下载.docx
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7.若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于（）
A.2B.1C.D.
8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，
边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°
，那么∠C等于（）
A．28°
B．33°
C．34°
D．56°
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，
若点A的坐标为，则点C的坐标为（）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O上存在点N，使得，那么m的取值范围是（）
A．≤m≤1B.＜m＜1C.0≤m≤1D.0＜m＜1
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若则．
12．若一个凸n边形的内角和为，则边数n=．
13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰
所成像的高度为______cm．
14．请写出一个图象的对称轴是直线，且经过点的二次函数的表达式：
_____________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线
（n≠0）在第一象限的公共点是．小明说：
“从图象上可
以看出，满足的x的取值范围是．”你同意他的
观点吗？
答：
．理由是．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点D为直线上且在第一
象限内的任意一点，⊥轴于点，以为边在的右侧
作正方形；
直线与边交于点，以为边在
的右侧作正方形；
直线与边交于点，以
为边在的右侧作正方形，……，按这种方式进行下去，则直线对
应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在AB，BC
的延长线上，BD=CE，连接AE，CD．
求证：
∠E＝∠D．
18．计算：
.
19．已知，求代数式的值．
20．解方程：
．
21．列方程（组）解应用题：
某超市的部分商品账目记录显示内容如下：
商品时间
第一天
第二天
第三天
牙膏（盒）
7
14
？
牙刷（支）
13
15
12
营业额（元）
121
187
124
求第三天卖出牙膏多少盒．
22．已知关于x的函数．
（1）求证：
无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C
与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接
CF．
四边形AFCE是菱形；
（2）若∠B=45°
，∠FCE=60°
，AB=，求线段D′F的长．
24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段
——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.
根据以上信息解决下列问题：
（1）以下说法中，正确的是
（请填写所有正确说法的序号）
①从2011年至2014年，全市常住人口数在逐年下降；
②2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；
③2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；
④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.
（2）补全“2014年末北京市常住人口分布图”，并回答：
2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？
（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到2015年底，北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内（即不超过2180万）.为实现这一目标，2015年的全市常住人口的年增长率应不超过．（精确到0.1%）
25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交
⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．
（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且时，求PG的长．
26．
（1）小明遇到下面一道题：
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º
，∠ACB=30º
，BE⊥AC于
点E，且．如果AB=1，求CD边的长．
小明在解题过程中发现，图1中，△CDE与△相似，CD的长度等于
，线段CD与线段的长度相等；
他进一步思考：
如果（是锐角），其他条件不变，那么CD的长度可以表示为CD=；
（用含的式子表示）
（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：
在Rt△OMN中，∠MON=90º
，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l经过点M，且l∥ON．请在直线l上找出点P的位置，使得．
请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．已知一次函数（k≠0）的图象经过，两点，二次函数
（其中a＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若，求当且≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足且≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围．
28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，
作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，
（1）中的结论是否成立？
若成立
给出证明；
若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：
在图形G上若存在两点
M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，
△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．
（1）如图1，已知点，，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B
两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；
（画
出一个即可）
（2）如图2，已知点，点（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，
且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为，求m的值；
（3）若是抛物线的τ型点，直接写出n的取值范围．
北京市西城区2015年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准2015.6
题号
1
2
3
4
5
6
8
9
10
答案
C
B
D
A
11
16
（答案不唯一）
不同意
x的取值范围是或（或其他正确结论）
17.证明：
如图1.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB＝∠ABC=60°
．………………………………………………1分
∵D，E两点分别在AB，BC的延长线上，
∴∠ACE＝∠CBD=120°
．…………………2分
在△ACE和△CBD中，
图1
………………………3分
∴△ACE≌△CBD．………………………4分
∴∠E＝∠D．……………………………………………………………………5分
18．解：
………………………………………………………………4分
.…………………………………………………………………………5分
19．解：
=………………………………………………………………2分
=
=．………………………………………………………………………3分
∵，
∴．……………………………………………………………………4分
∴原式=．……………………………………………5分
20．解：
去分母，得．……………………………………………………1分
去括号，得．………………………………………………………2分
整理，得．………………………………………………………………3分
解得．……………………………………………………………………4分
经检验，是原方程的解．…………………………………………………5分
所以原方程的解是．
21．解：
设牙膏每盒x元，牙刷每支y元．…………………………………………………1分
由题意，得……………………………………………………2分
解得………………………………………………………………………3分
（盒）．…………………………………………………………4分
答：
第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分
22．解：
（1）当m=0时，该函数为一次函数，它的图象与x轴有公共点.
………………………………………………………………1分
当m≠0时，二次函数．
．
∵无论m取何实数，总有≥0，即≥0，
∴方程有两个实数根．
∴此时函数的图象与x轴有公共点．……………2分
综上所述，无论m取何实数，该函数的图象与x轴总有公共点．
（2）∵m＞0，
∴该函数为二次函数，它的图象与x轴的公共点的横坐标为
．
∴，．………………………………………………………3分
∵此抛物线与x轴公共点的横坐标为整数，
∴正整数m=1或3．……………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．
（1）证明：
如图2．
∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴，AE=EC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
图2
∴．
∴AE=AF．…………………………………………………………………1分
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形．…………………………………………2分
又AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．…………………………………………………3分
（2）解：
如图3，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°
．
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
图3
又∵AF=EC，
∴，即．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°
，∠B=45°
，AB=，
∴AG=GB=6.
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC.
∴∠4=∠5=60°
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°
，∠4=60°
∴.
∴.
∴.…………………5分
24.解：
（1）③④.…………………………………2分
（2）补全统计图见图4.…………………3分
图4
1055万人.…………………………4分
（3）1.3%.……………………………………………………………………………5分
25.解：
（1）补全图形如图5所示.…………………………………………………………1分
答：
PG与⊙O相切.
证明：
如图6，连接OG.
∵PF=PG，
∴∠1=∠2.
又∵OG=OA，
∴∠3=∠A.
图5
∵CD⊥AB于点E，
∴∠A+∠AFE=90°
又∵∠2=∠AFE，
∴∠3+∠1=90°
.………………………2分
即OG⊥PG.
∵OG为⊙O的半径，
∴PG与⊙O相切.……………………3分
（2）解：
如图7，连接CG.
图6
∵CD⊥AB于点E，
∴∠OEC=90°
∵DG∥AB，
∴∠GDC=∠OEC=90°
.
∵∠GDC是⊙O的圆周角，
∴CG为⊙O的直径.
∵E为半径OA的中点，
图7
∴.
∴∠OCE=30°
即∠GCP=30°
又∵∠CGP=90°
，，
∴.……………………………5分
26.解：
（1）CAD，，BC.……………………………………………………………3分
.……………………………………………………………………………4分
（2）方法1：
如图8，以点N为圆心，ON为半径作圆，交直线l于点，，则点
，为符合题意的点.………………………………………………5分
方法2：
如图9，过点N画NO的垂线，画NQ的垂直平分线，直线与
交于点R，以点R为圆心，RN为半径作圆，交直线l于点，，
则点，为符合题意的点.………………………………………5分
图8图9
27．解：
（1）∵一次函数（k≠0）的图象经过，两点，
∴
解得………………………………………………………………1分
∴．…………………………………………………………2分
∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为．
…………………………………3分
（2）①当时，．
…………………………………4分
如图10，因为且≤0，由图象
图10
得2＜x≤4．…………………………6分
②≤a＜．……………………………7分
28．解：
（1）CH=AB．…………………………………1分
（2）结论成立．…………………………………2分
证明：
如图11，连接BE．
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°
∵DE=DF，
图11
∴AF=CE．
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE．
∴∠1=∠2．……………………………………………………………………3分
∵EH⊥BF，∠BCE=90°
∴H，C两点都在以BE为直径的圆上．
∴∠3=∠2．
∴∠3=∠1．
∵∠3+∠4=90°
，∠1+∠HBC=90°
∴∠4=∠HBC．
∴CH=CB．…………………………………………………………………5分
∴CH=AB．…………………………………………………………………6分
（3）．………………………………………………………………………7分
29．解：
（1）点A．………………………………………1分
画图见图12．（画出一个即可）…………2分
△AMN（或△AJK）.……………………3分
（2）如图13，作OL⊥EF于点L.
∵线段EF为点O的τ型线，
∴OL即为线段EF关于点O的τ型三角形的高.
图12
∵线段EF关于点O的τ型三角形的面积为，
∴.………………………………4分
∵，，
∴.
图13
∴.
∴.………………………………………………………………………6分
（3）n≤.……………………………………………………………………………8分
图15
初三二模数学试卷第17页（共17页）
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