北京中考数学各区一模试题最新汇编几何综合全教师版文档格式.doc

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∵CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE=2α，

∴∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN=α，AM=AB，AN=AE．

∴∠CAD＝∠BAE．………………………………………………………………5分

Rt△ACM和Rt△ADN中,

sin∠ACM=，sin∠ADN=．

∴．………………………6分

又∵∠CAD＝∠BAE，

∴△BAE∽△CAD．

∴BE=2DC·

sinα．………………………………………………………………7分

3、（2014东城一模）24.如图1，已知∠DAC=90°

，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°

得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.

（1）如图1，猜想∠QEP=°

；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°

，∠ACP=15°

，且AC=4，求BQ的长．

24.（本小题满分7分）

解：

（1）∠QEP=60°

．………………1分

（2）∠QEP=60°

．

证明:

如图1，以∠DAC是锐角为例．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°

又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°

∴∠ACP=∠BCQ．

∴△ACP≌△BCQ．

∴∠APC=∠Q．

设PC与BQ交于点G，图1

∵∠1=∠2，

∴∠QEP=∠PCQ=60°

．………………4分

（3）由题意可求，∠APC=30°

，∠PCB=45°

又由

（2）可证∠QEP=60°

∴可证QE垂直平分PC，

△GBC为等腰直角三角形．

∵AC=4，

∴，．

∴．………………7分

4、（2014房山一模）24.将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°

，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°

≤α≤180°

），BD的延长线交直线CE于点P.

（1）如图2，BD与CE的数量关系是,位置关系是；

（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长；

（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长.[来源:

学*科*网]

备用图

图2

图1

5、（2014丰台一模）24.在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，

（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H.求证，EF⊥CD；

（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P，试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由。

（1）如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M

∵∠BAC=90°

，AF⊥BE于G

∴∠1+∠5=∠2+∠5=90°

∴∠1=∠2

又∵∠BAC=∠ACM=90°

，AB=AC

∴△ABE≌△CAM………………………………1分

∴AE=CM，∠5=∠M

∵AE=EC∴EC=CM

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠ABC=∠ACB=45°

∵∠ACM=90°

∴∠4==∠ACF

∴△ECF≌△MCF………………………………2分

∴∠6=∠M∴∠6=∠5

∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点∴AD=AE

又∵AB=AC，∠BAE=∠CAD

∴△ABE≌△ACD………………………………3分

∴∠1=∠3∴∠3+∠6=90°

∴∠EHC=90°

∴EF⊥CD………………………………4分

（2）如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M

由

（1）得：

△ABE≌△CAM

∴AE=CM，∠5=∠M，BE=AM

由

（1）得：

△ABE≌△ACD

∴∠1=∠3

∵FP⊥CD于H，∠BAC=90°

∴∠3+∠6=∠1+∠5

∴∠6=∠5………………………………5分

∵∠6=∠8，∠7=∠5

∴∠7=∠8

∴EP=QP………………………………6分

∵∠6=∠5，∠5=∠M

∴∠6=∠M

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴△QCF≌△MCF

∴FQ=FM

∴BP=BE+PE

=AM+PQ

=（AF+FM）+PQ

=AF+FQ+PQ

=AF+FP………………………………7分

6、（2014怀柔一模）24．问题：

在中，，∠A=100°

，BD为∠B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系.

请你完成下列探究过程：

（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为.

（2）在对

（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°

后，可进一步推出∠ABD=∠DBC=度.

（3）为了使同学们顺利地解答本题

（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：

在BC上截取BE=BD，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对

（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.

24．解：

（1）AD+BD=BC………………………………………1分

（2）20……………………………………………………2分

（3）画出图形……………………………………………………3分

继续证明：

在BC上截取BF=BA，连接DF,

∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∴△ABD≌△FBD，

∴AD=DF，①………………………………4分

∵∠A=100°

，∴∠DFB=∠A=100°

，∴∠DFC=80°

∵BE=BD，∠DBC=20°

∴∠BED=∠BDE=80°

，∠DFE=∠FED,

∴DF=DE，②………………………………5分

∵∠FED=80°

，∠C=40°

，∴∠EDC=40°

∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，③………………………………………………6分

∴AD=EC，∴AD+BD=BC.……………………………………………………7分

（其它方法对应给分）.

（2014门头沟一模）24.已知：

在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.

（1）如图12-1，当α=60°

时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；

_______________

（2）如图12-2，当α=45°

时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；

（3）如图12-3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：

_______________________．（用含α的式子表示,其中）

图12-2

图12-3

图12-1

24.

（1）BD=AE；

………………1分

（2）BD=AE；

理由如下：

………………2分

过点D作DF∥AC，交BC于F．

∵DF∥AC，

∴∠ACB=∠DFC．

∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°

∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°

∴△DFB是等腰直角三角形

图24-2

∴BD=DF=BF．………………3分

∵AE∥BC，

∴∠ABC+∠BAE=180°

∵∠DFB+∠DFC=180°

∴∠BAE=∠DFC．

∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，

∴∠ADE=∠BCD．

∴△ADE∽△FCD．

∴．………………4分

∴．

∴．………………5分

∴BD=AE．

图24-3

（3）补全图形如图3，………………6分

关系：

BD=2cosα·

AE．………………7分

（图正确得1分，结论正确得1分）

7、（2014密云一模）24．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，

构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.

（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；

（2）如图2，为中点，且0°

＜＜90°

，求证：

（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？

若能，直接写

出旋转角的值；

若不能，说明理由.

24．

（1）

（2）

（3）能,…………………7分

8、（2014平谷一模）24．

（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°

，连接EF，

则EF、BE、FD之间的数量关系是：

EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；

（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当∠BAC=60°

，∠DAE=30°

时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；

②如图3，当∠BAC=，（0°

90°

），∠DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是____________________．【参考：

】

24．

（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°

∠ABM=∠ADN=45°

．

把△ABM绕点A逆时针旋转90°

得到．

连结．则,

，．

∵∠EAF=45°

，∴∠BAM+∠DAN=45°

∠DAM′+∠DAF=45°

．

∴≌．∴=MN．

在中，,

∴-------------------------------------------------------------------3分

（2）①；

------------------------------------------------------5分

②----------------------------------------------7分

9、（2014石景山一模）24．在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．

（1）若，则；

（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；

（3）过点E作EH//CF交射线CB于点H，请探究：

当GB为何值时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．

解析：

24．解：

（1）90°

………………………………………………2分

（2）正确画图………………………………………………3分

四边形ABCD是矩形，

∠D=90°

.

△是等边三角形,

.

∠DFC=∠AFE，

∠DFC=60°

.…………4分

DC=8，

△是等边三角形，

GC=FC=.

BC=AD=12，

GB=12-.………………………………5分

（3）过点F作FK⊥BC于点K

四边形ABCD是矩形

∠ABC=90°

，AD//BC

∠DFC=∠KCF，∠AFG=∠KGF

∠DFC=∠AFG

∠KCF=∠KGF

FG=FC……………………………………………………………6分

GK=CK

四边形FHEC是平行四边形

FG=EG……………………………………………………………7分

∠FGK=∠EGB,∠FKG=∠EBG=90°

∴△FGK≌△EGB

K

H

E

G

D

A

B

C

F

∴BG=GK=KC=……………………………………………8分

10、（2014海淀一模）在△ABC中，，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．

（1）如图1，当，时，∠CBD的大小为_________；

（2）如图2，当，时，求∠CBD的大小；

（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD的大小与

（2）中的结果相同，请直接写出的大小．

（1）30°

………………………………………………………………………1分

（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．

∴，.

∵，，

∴.

∵，

∴.①

∴．②

∵，③

∴由①②③，得△DCB≌△FCB，

∵，，∴.

∴.④

∴.⑤

∵，⑥

∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．

∴.………………………………………………………………………4分

（3），或.……………………………7分

11、（2014通州一模）24．已知：

等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60º

至，连接.

（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段与MF的数量关系是__________；

（2）如图2，当点M在BC边上时，

（1）中的结论是否依然成立？

如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；

图3

（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断

（1）中的结论是否依然成立？

不必给出证明或说明理由.

解析：

24.

（1）=MF；

..........................................................（1分）

（2）与MF的相等关系依然成立

连接DE、DF、

D、E、F分别是AB、AC、BC的中点

DE//BC，DE=BC，DF//AC，DF=AC

四边形DFCE为平行四边形

△ABC是等边三角形

BC=AC，∠C=60º

DE=DF，∠EDF=∠C=60º

...................（2分）

MD=，=60º

..................（3分）

△是等边三角形

..........................................................（4分）

△≌△DMF（SAS）

=MF..........................................................（5分）

（3）与MF的相等关系依然成立....................................................（6分）

画出正确图形..............................................（7分）

12、（2014一模）24.如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到

点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，求点P运动路线的长．

解析：

（1）当点E与点A重合时，

-----------1分

x=0，y=2

-----------2分

当点E与点A不重合时，0＜x≤2

在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°

∴∠MDF=90°

，∴∠A=∠MDF

在△AME和△DMF中

-----------3分

∴△AME≌△DMF（ASA）

∴ME=MF

在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=

∴EF=2ME=2

----------5分

-----------4分

过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）

则∠MNG=90°

，∠AMN=90°

，MN=AB=AD=2AM

∴∠AME+∠EMN=90°

∵∠EMG=90°

∴∠GMN+∠EMN=90°

∴∠AME=∠GMN

∴Rt△AME∽Rt△NMG

即

-----------5分

∴MG=2ME=

-----------6分

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；

在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；

∴∠MBG=∠G′MG=90°

-∠BMG；

∴tan∠MBG=

∴tan∠GMG′=tan∠MBG=

-----------7分

∴GG′=2MG=4；

△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，

∴PP′是△MGG′的中位线；

∴PP′=

即：

点P运动路线的长为2．

13、（2014燕山一模）24.如图1，已知是等腰直角三角形，,点是

的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接

，．

（1）试猜想线段和的数量关系是；

（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，

①判断

（1）中的结论是否仍然成立？

请利用图2证明你的结论；

②若，当取最大值时，求的值．

24.解：

（1）；

…………………2分

（2）①成立．以下给出证明：

如图，连接，

∵在Rt中，为斜边中点，

∴，，

∴．…………………3分

∵四边形为正方形，

∴，且，

∴，

∴．……4分

在和中，

∴≌，

∴．……………………5分

②由①可得，当取得最大值时，取得最大值．

当旋转角为时，，最大值为.………6分

如图,此时．……………………7分

14、（2014昌平一模）24．如图1，正方形与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为.在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：

BE=DG；

（2）当点C在直线上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；

（3）如图3，如果=45°

，AB=2，AE=，求点G到BE的距离.

24．

（1）证明：

如图2，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°

∵四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°

∴∠BAE=∠DAG.…………………………………1分

∴△≌△.

∴BE=DG.……………………………………………………………………………2分

（2）解：

45°

或135°

.…………………………………………………………………………4分

（3）解：

如图3，连接GB、GE.

由已知α=45°

，可知∠BAE=45°

又∵GE为正方形AEFG的对角线，

∴∠AEG=45°

∴AB∥GE.

∵,

∴GE=8，

.………………………………………………………………5分

过点B作BH⊥AE于点H.

∵AB=2，

∴.………………………………………………………………………6分

设点G到BE的距离为h.

∴.……………………………………………………………