北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题Word文档下载推荐.docx

北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题Word文档下载推荐.docx

《北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题Word文档下载推荐.docx（38页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2.的性质：

上加下减。

3.的性质：

左加右减。

X=h

4.的性质：

5.的性质

二次函数配方成则抛物线的

①对称轴：

x=②顶点坐标：

（，）

③增减性：

若a>

0，则当x<

时，y随x的增大而减小；

当x>

时，y随x的增大而增大。

若a<

时，y随x的增大而增大；

时，y随x的增大而减小。

④最值：

0，则当x=时，；

若a<

0，则当x=时，

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；

值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：

⑴沿轴平移:

向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿轴平移：

向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

①先找出顶点（，），画出对称轴x=；

②找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；

一般我们选取的五点为：

顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

③把上述五点连成光滑的曲线。

六、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：

（，，为常数，）；

2.顶点式：

3.两根式：

（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

的符号的判定：

对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

3.常数项

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

八、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2.关于轴对称

3.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

4.关于顶点对称（即：

抛物线绕顶点旋转180°

）

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

5.关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；

下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

抛物线与轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

二次函数图像参考：

十一、函数的应用

二次函数应用

一、二次函数概念：

基础训练：

1、一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。

其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．

2．观察：

①y＝6x2；

②y＝－x2＋30x；

③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．

3．函数y＝（m－2）x2＋mx－3（m为常数）．

（1）当m__________时，该函数为二次函数；

（2）当m__________时，该函数为一次函数．

4、①、下列函数中，是的二次函数的是________：

A、B、C、D、

②、二次函数的二次项系数，一次项系数与常数项分别是________、________、________。

5、当k=_______时，函数是以x为自变量的二次函数。

6、把函数化成一般式是____________________。

其中a=,b=，c=。

7、列写函数关系式：

①高等于底面半径的圆柱表面积与底面半径的关系____________________；

②长是宽的3倍的矩形面积S与宽a之间的关系____________________；

③边长为的等边三角形的面积与的关系____________________；

④n支球队单循环比赛，总的场数m与n的关系____________________；

⑤某药品原售价25元，经过两次降价，每次都降低％，现价为元，则与的函数关系____________________。

8、函数是二次函数，求m的值。

9、无论x为何实数，二次函数y=（a+1）x2的值总是非负数，求a的取值范围。

巩固训练

1、的积等于，写出与的函数关系式为____________________；

2、函数是关于x的二次函数，则m等于（）

A、1B、-1C、±

1D、都不对

3、下列函数中，哪些是二次函数？

（1）y=3x-1

（2）y=3x2（3）y=3x3+2x2（4）y=2x2-2x+1（5）y=x-2+x（6）y=x2-x（1+x）

拓展提高：

对于函数

①m为何值时，是的二次函数？

②m为何值时，是的一次函数？

③可以成为的反比例函数吗？

如果可以，求出m的值；

如果不可以，说明理由。

二、二次函数图象与性质

1、二次函数y＝ax2的图象与性质

一、填空题

1、二次函数的图象性质：

一般地，抛物线的对称轴是__________，顶点坐标是__________。

当a>

0时，抛物线的开口向_______，顶点是抛物线的最_______点；

当a<

0时，抛物线

的开口向_______，顶点是抛物线的最_______点。

抛物线的开口向_______，对称轴是__________，顶点坐标是__________，顶点

是___，该抛物线有最_______点。

2．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，

当x＝___________时，有最_________值是_________．

3．二次函数y＝mx有最低点，则m＝___________．

4．二次函数y＝（k＋1）x2的图象如图所示，则k的取值

范围为___________．

5.若二次函数的图象的开口方向向上，则的取值范围为.

6.二次函数的顶点坐标为，对称轴为.

7.若点（2，8）与点（，）都在二次函数的图象上，则的值为.

8.已知点（，）在二次函数的图象上，则的值为.

9.若二次函数在对称轴右边的图象上，随的增大而减小，则的取值范围为.

10.二次函数的图象必经过的一点的坐标为.

二、选择题

1、下列二次函数的开口向下的是________

A、B、C、D、

2、二次函数开口向上，则m的非负整数值是________

A、0，1B、0，1，2C、1，2D、0，2

3、下列抛物线的开口最大的是________

A、B、C、D、

4、对比同一坐标系中画出y=x2与y=-x2的图象；

它们成轴对称吗？

若是，对称轴是什么直线？

y=ax2与y=-ax2能类推结论吗？

结论是什么呢？

5、在同一直角坐标系中画出下列函数图象：

①

②

达标检测：

1、下列点在图象上的点是________

A.（-1，2）B.（1，-2）C.（0，-2）D.（-1，0）

2、二次函数开口向下，则k的取值范围是____________

3、已知抛物线的开口向下。

（1）求当x=时，y的值；

（2）画出它的图像。

（1）若将抛物线y=4x2的图像绕其顶点旋转180°

，所得抛物线的解析式为______________；

（2）若点A（,2）、B（,2）（≠）都在抛物线的图像上，则当时，y=_____.

2、二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

基础训练

1．填表

函数

草图

顶点

最值

对称轴右侧的增减性

y＝3x2

y＝－3x2＋1

y＝－4x2－5

2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．

3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

5．抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向___________平移_________个单位得到的．

6．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．

7．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．

巩固提高

1．下列二次函数的开口方向向上的是（）

A．B．C．D．

2．若二次函数的开口方向向下，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

3．若二次函数与二次函数图象的形状完全相同，则与的关系为（）

A．=B．=C．=D．无法判断

4．将二次函数的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为（）

A．B．C．D．

5．若二次函数由二次函数平移得到的，则的值为（）

A．1B．C．1或D．0或

6．二次函数图象的顶点坐标为（）

A．（0，3）B．（0，）C．（，3）D．（，）

7．将二次函数图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为（）

A．（0，）B．（0，4）C．（5，）D．（，）

8．将二次函数图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为（）

A．直线B．直线C．直线D．直线

3、二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质

1．观察图象，填表：

增减性

y＝－（x＋1）2

y＝－（x－1）2

2．请在图上把抛物线y＝－x2也画上去（草图）．

①抛物线y＝－（x＋1）2，y＝－x2，y＝－（x－1）2的形状大小____________．

②把抛物线y＝－x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－（x＋1）2；

把抛物线y＝－x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－（x＋1）2．

目标检测

1．抛物线y＝2（x＋3）2的开口______________；

顶点坐标为__________________；

对称轴是_________；

当x＞－3时，y______________；

当x＝－3时，y有_______值是_________．

2．抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4（x－4）2，则m＝__________，n＝___________．

3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．

4．若抛物线y＝m（x＋1）2过点（1，－4），则m＝_______________．.

练习：

1．二次函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？

⑴开口方向；

⑵顶点坐标；

⑶对称轴为.

2．练习：

二次函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？

3．练习：

将二次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度得到的函数解析式为，再沿轴向左平移7个单位长度得到的函数解析式为.

1．对于二次函数来说，，，.

2．抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，其顶点坐标的意义为.

3．将抛物线沿轴向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为，再沿轴向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为.

4．把抛物线沿轴向下平移7个单位得到的抛物线的解析式为，则，.

5．抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，其顶点坐标的意义为.

6．将抛物线沿轴向左平移6个单位长度得到的新的二次函数解析式为.此时函数的顶点坐标为，对称轴为.

7．把抛物线沿轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为，则，.

8．把抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为，此时抛物线的开口方向，顶点坐标为，对称轴为.

9．二次函数

⑴将其化成的形式；

⑵说明⑴中抛物线是由的图象经过怎样的图形变换得到的？

⑶写出⑴中抛物线的顶点坐标，对称轴.

⑷求⑴中抛物线与轴、轴的交点坐标.

4、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．

2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．

3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．

4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；

当x＝________时，y有_________值是___________．

1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标．

2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．

1、与抛物线的对称轴的位置有关的数据是______

A、B、C、、D、、、

2、下列抛物线的顶点在第二象限的是______

A、B、C、D、

3、抛物线的对称轴是_____________，顶点坐标是_________

4、函数的最大值是_____________。

5、对于函数，当x_______时，y随x的增大而增大；

x_______时，y随x的增大而减小。

-1

O

x=1

y

x

6、已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：

①；

②a+b+c>

0③a-b+c<

0；

④2a+b=0；

其中正确的结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、点A、B在抛物线的图象上，点A横坐标是—1，点B的纵坐标是4，求经过A、B两点的直线解析式。

8、抛物线的对称轴是_____________，顶点坐标是__________