北师大版数学九年级上册第一章证明二(1)Word格式.doc

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推论：

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）

已知：

在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF

求证：

△ABC≌△DEF

证明：

∵∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF

二.例题分析：

例1.等腰三角形的底角为15°

，腰长2a，求腰上的高。

如图所示，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°

，CD是腰AB上的高，求CD的长。

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

，

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°

+15°

=30°

。

（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。

例2.已知：

矩形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°

，你能由此验证“Rt△中30°

角所对的直角边是斜边的一半”这一定理吗？

三.1.等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等。

（简称为“等边对等角”）

（2）等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（等腰三角形的“三线合一”）

（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°

2.你能利用我们学过的公理和定理证明这些结论吗？

如图所示，在△ABC中，AB=AC，求证：

∠B=∠C

证法一：

取BC的中点D，连结AD。

证法二：

作∠BAC的平分线AD交BC于D。

（1）“等边对等角”

（2）等腰三角形的“三线合一”

（3）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°

四.例1.证明：

等腰三角形两底角的平分线相等。

如图所示，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB

BD=CE

等腰三角形两腰上的中线相等。

等腰三角形两腰上的高相等。

五.

（1）前面已经证明了，等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个底角相等的三角形是等腰三角形吗？

如图所示，在△ABC中，∠B=∠C

AB=AC

过A点作AD⊥BC。

证法二：

作∠BAC的平分线AD交BC于D

（1）“等角对等边”

（2）每个角都相等的三角形是等边三角形。

六.1.一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

2.你认为有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的结论吗？

定理：

有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形。

2.已知：

在△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=30°

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°

，则∠B=60°

延长BC至D，使CD=BC，

连接AD（如图所示）

∵AC=AC

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）

∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形）

直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【模拟试题】

1.证明：

三个角都相等的三角形是等边三角形。

如图所示，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。

△ADE是等边三角形。

3.房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A=30°

，AB=7.4m，点D是AB的中点，且，垂足为E，求AC，DE的长。

4.已知：

5.已知：

AB=DC，AC=DB

6.已知：

如图所示，△ABC中，AB=AC，D、E为BC上两点，且AD=AE。

BD=CE。

7.如图所示，在△ABD中，C是BD上的一点，且。

（1）求证：

△ABD是等腰三角形

（2）求的度数。

8.如图所示，△ABC中，AB=BD=DC，，则_______，_________。

9.已知：

如图所示，AB=AC，OB=OC，求证：

AD=AE。

10.如图所示，在等边△ABC中，，且AE=AD，则______________。

【试题答案】

1.证：

2.解：

3.解：

4.证：

5.证：

连结BC

6.证：

7.证：

8.80°

；

60°

9.证：

10.15°

8