全国181套中考数学试题分类汇编42解直角三角形和应用Word格式.doc

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由正切函数的定义，tanA＝，而BC=5米，从而AC＝＝米。

6.（山东潍坊3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是.

同学

甲

乙

丙

丁

放出风筝线长

140m

100m

95m

90m

线与地面夹角

30°

45°

60°

A．甲B．乙C．丙D．丁

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），特殊角的三角函数，无理数的大小比较。

【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可：

如图，

甲中，AC=140，∠C=30°

，AB=140×

sin30°

=70=；

乙中，DF=100，∠C=45°

，DE=100×

sin45°

=50

=；

丙中，GI=95，∠I=45°

，GH=95×

==；

丁中，JL=90，∠C=60°

，JK=90

×

sin60°

=45=。

∵＜＜＜，∴GH＜AB＜DE＜JK。

可见丁同学所放的风筝最高。

故选D。

7.（湖北荆门3分）在△ABC中，∠A＝120°

，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是

A.B.C.D.

【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】作CD⊥BD，交BA的延长线于D，

∵∠A=120°

，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°

，∠ACD=30°

。

∴2AD=AC=2。

∴AD=1，CD=。

∴BD=5，∴BC=2。

∴sinB=。

8.（内蒙古乌兰察布4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8和10，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是▲m.（不考虑其它因素）

【答案】。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D。

由锐角三角函数定义，得

BC＝BD－CD＝。

b

a

B

A

9.（四川绵阳3分）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角a为45°

，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角b为30°

．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：

≈1.414，≈1.732）

A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）

【分析】：

已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°

，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°

，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，所以设塔高为米，则得：

解得：

≈42.48。

10.（青海西宁3分）某水坝的坡度i＝1:

，坡长AB＝20米，则坝的高度为

A．10米 B．20米 C．40米 D．20米

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理。

【分析】如图：

∵坡度i=1：

3，∴设AC=x，BC=3x，

根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，则x2+（3x）2=202，解得x=10。

11.（贵州毕节3分）如图，将一个Rt△ABC形状

的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩

底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为

200，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则

木桩上升了

A、B、C、D、

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。

【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：

8tan20°

二、填空题

1.（天津3分）如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°

．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于▲。

【答案】5。

【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。

【分析】∵在Rt△ABO中，，

∴AD=2AO=。

连接CD，则∠ACD=90°

∵在Rt△ADC中，，

∴BC=AC－AB=15－10=5。

2．（重庆潼南4分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°

，∠ACD=60°

，则直径AD=　▲　米．（结果精确到1米）

（参考数据：

）

【答案】260。

【考点】解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，锐角三角函数定义，解分式方程。

【分析】设CD=，则由∠ADC=90°

可得AC=2，AD=，

由BC=300，得BD=300＋，

在Rt△ABD中，tinB=，∴，解并检验得：

=150。

∴AD==（米）。

故答案为：

260米．

3.（浙江义乌4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°

，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是▲m．

【分析】过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，

∵已知∠ABC=135°

，∴∠CBE=180°

－∠ABC=45°

∴CE=BC•sin∠CBE=·

=。

∴h=5。

4.（湖南岳阳3分）如图，在顶角为30°

的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°

．根据图形计算tan15°

=　▲　．

【考点】解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】由已知设AB=AC=2，

∵∠A=30°

，CD⊥AB，∴CD=AC=，则AD2=AC2﹣CD2=

（2）2﹣2=32。

∴AD=。

∴BD=AB﹣AD=2﹣=（2﹣），

∴tan15°

5.（湖南株洲3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出

发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季

受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上

升的高度BC是▲米．

【答案】40。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），含30°

的角的直角三角形的性质。

【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题，利用“直角三角形中30°

的角所对的直角边是斜边的一半”即可求得BC=80×

12=40米。

6.（江苏南通3分）如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），

测得∠ACB＝30°

，∠ADB＝60°

，CD＝60m，则河宽AB为▲

m（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形，特殊角三角函数，二次根式计算。

【分析】在Rt∆ABD和Rt∆ABC中

7.（广东茂名3分）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°

，则船与观测者之间的水平距离BC=　▲　米．

【答案】100。

【考点】解直角三角形的应用。

【分析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°

，

∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米。

8.（湖北襄阳3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°

，BD=1000m，∠D=50°

．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE=▲m．

（供选用的三角函数值：

sin50°

=0.7660，cos50°

=0.6428，tan50°

=1.192）

【答案】642.8。

【考点】解直角三角形的应用，平角定义，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。

【分析】先判断出△BED的形状，再根据锐角三角函数的定义解答即可：

∵∠ABD=140°

，∴∠DBE=180°

﹣140°

=40°

∵∠D=50°

，∴∠E=180°

﹣∠DBE﹣∠D=180°

﹣40°

﹣50°

=90°

∴DE=BD·

cos∠D=1000×

cos50°

=1000×

0.6428=642.8（m）。

9.（湖北黄冈、鄂州3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=　▲　．

【答案】2。

【考点】三角形的面积。

【分析】∵点D是AC的中点，S△ABC=12，∴S△ABD=×

12=6。

∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=×

12=4。

∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。

10.（甘肃兰州4分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：

，坝外斜坡的坡度i=1：

1，则两个坡角的和为▲．

【答案】75°

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），坡度计算，特殊角的三角函数值。

【分析】坝内斜坡的坡度i=1：

，说明tga=，则a=30°

外斜坡的坡度i=1：

1，说明tgv=1，v=450，两角和为75°

11.（福建三明4分）如图，小亮在太阳光线与地面成35°

角时，测得树AB在地面上的影长BC=18m，则树高AB约为▲m（结果精确到0.1m）

【答案】12.6。

【分析】利用所给角的正切函数求解：

∵tanC，∴AB=BC·

tanC=18×

tan35°

≈12.6（米）。

一般角的三角函数值需要利用计算器计算。

12.（福建莆田4分）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A测得D点的仰角α=45°

，则乙建筑物高DC=▲米。

【答案】58。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质。

【分析】过点A作AE⊥CD于点E．

根据题意，得∠DAE=45°

，AE=DE=BC=30，

∴DC=DE＋EC=DE＋AB=30＋28=58（米）。

13.（福建莆田4分）如图，一束光线从点A（3,3）出发，经过y轴上的点C反射后经过点B（1,0），则光线从A到B点经过的路线长是▲。

【考点】解直角三角形的应用，轴对称的性质，勾股定理。

【分析】如图，延长AC交x轴于B′，

则根据光的反射原理点B、B′关于y轴对称，CB=CB′。

作AD⊥x轴于D点，则AD=3，DB′=3+1=4，

∴由勾股定理可得AB′=。

即光线从点A到点B经过的路径长为5。

三、解答题

1.（北京5分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

【答案】解：

（1）证明：

连接AE。

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°

∴∠1+∠2=90°

∵AB=AC，∴∠1=∠CAB。

∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF。

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线。

（2）过点C作CG⊥AB于点G。

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=。

∵∠AEB=90°

，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=。

∵AB=AC，∠AEB=90°

，∴BC=2BE=2。

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2，∴sin∠2=，cos∠2=。

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3。

∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA。

【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°

（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。

2.（天津8分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m．在一处测得望海校B位于A的北偏东30°

方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C．在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°

方向．求此时游轮与望梅楼之间的距离BC（取l.73．结果保留整数）．

根据题意，AB=10，如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。

在Rt△ADB中，∵∠BAD=300，∴。

在Rt△CDB中，。

答：

此时游轮与望梅楼之间的距离约为173m。

【分析】要求BC的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。

3.（重庆綦江6分）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°

，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°

，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）

∵∠CBE=45°

，CE⊥AE，∴CE=BE=21。

∴AE=AB+BE=21+6=27。

在Rt△ADE中，∠DAE=30°

，DE=AE·

tan30°

=27×

=9，

∴CD=CE﹣DE=21﹣9。

∴广告屏幕上端与下端之间的距离约为21﹣9m。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。

【分析】易得CE=BE，利用30°

的正切值即可求得CE长，从而可求得DE长．CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离。

4.（浙江绍兴8分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°

，如图2．

（1）求车架档AD的长；

（2）求车座点E到车架档AB的距离．

（结果精确到 

1cm．参考数据：

sin75°

≈0.9659，cos75°

≈0.2588，tan75≈3.7321）

（1）AD=，

∴车架当AD的长为75cm。

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，

距离EF=AEsin75°

=（45+20）sin75°

≈62.7835≈63cm。

∴车座点E到车架档AB的距离是63cm。

【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数。

（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可。

（2）过点E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°

，即可得到答案。

5.（浙江金华、丽水6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°

≤α≤70°

时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．

（结果保留两个有效数字，sin70°

≈0.94，sin50°

≈0.77，cos70°

≈0.34，cos50°

≈0.64）

当α=70°

时，梯子顶端达到最大高度，

∵sinα=，∴AC=sin70°

6≈0.94×

6=5.64≈5.6（米）．

答：

人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），有效数字。

【分析】易知α越大，梯子顶端达到最大高度，利用70°

正弦值可得最大高度AC。

6.（浙江台州10分）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度（精确到个位，≈1.7）．

由∠ABC＝120º

可得∠EBC＝60º

在Rt△BCE中，CE＝51，∠EBC＝60º

∴tan60º

＝，BE＝＝≈30。

在矩形AECF中，由∠BAD＝45º

，得∠ADF＝∠DAF＝45º

。

∴DF＝AF＝51。

∴FC＝AE＝34＋30＝64。

∴CD＝FC－FD≈64－51＝13。

因此BE的长度约为30cm，CD的长度约为13cm。

【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数。

【分析】在Rt△BCE中，CE=51，∠EBC=60°

，求得BE，在矩形AECF中，由∠BAD-45°

，从而求得DF=AF=51，从而求得BE，CD的长度。

7.（浙江省10分）图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面．

（1）求16层楼房DE的高度；

（2）若EF=16m，求塔吊的高CH的长（精确到0.1m）.

（1）据题意得：

DE=3.5×

16=56。

（2）AB=EF=16。

∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°

，∴∠ACB＝∠CAB。

∴CB=AB=16。

∴CG=BC×

=8。

∴CH=CG＋HG=CG＋DE＋AD=8＋56＋5=69。

∴塔吊的高CH的长为69.0m。

【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，特殊角三角函数值。

（1）每层楼高×

层数即得。

（2）要求CH的长，求出CG即可，解直角三角形CBG即可得。

8.（辽宁沈阳10分）小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=10米，且cosA=，sinA′=．

⑴求此重物在水平方向移动的距离BC；

⑵求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）

⑴过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E。

根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC，

∴∠A′ED=∠ADO=90°

在Rt△AOD中，∵cosA=，OA=10，

∴AD=6。

∴OD==8。

在Rt△A′OE中，∵sinA′=，OA′=10，

∴OE=5。

∴BC=ED=OD－OE=8－5=3。

⑵在Rt△A′OE中，A′E==。

∴B′C=A′C－A′B′=A′E＋CE－AB=A′E＋CE－（AD＋BD）

=＋2－（6＋2）=－6。

此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是（－6）米。

（1）先过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E，则得出EC=DB=OO′=2，ED=BC，通过解直角三角形AOD和A′OE得出OD与OE，从而求出BC。

（2）先解直角三角形A′OE，得出A′E，然后求出B′C。

9.（辽宁大连12分）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°

、底部B的仰角为45°

，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．

求建筑物BC的高度；

⑵求旗杆AB的高度．

（结果精确到0.1m．参考数据：

≈1.41，sin52°

≈0.79，tan52°

≈1.28）

（1）过点E作ED⊥BC于D，

∵底部B的仰角为45°

，即∠BED=45°

∴∠EBD=45°

∴BD=ED=FC=12。

∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6。

建筑物BC的高度为13.6m。

（2）∵由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°

，即∠AED=52°

∴AD=ED•tan52°

≈12×

1.28≈15.4。

∴AB=AD－-BD=15.4－12=3.4。

旗杆AB的度约为3.4m。

【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数。

（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°

得BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出BC。

（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°

可求出AD，则AB=AD－BD。

10.（辽宁本溪10分）如图，港口B在港口A的